06.1 Quadratische Gleichungen - Lösungstechniken (BK-KK-SG) - Matheaufgaben

Unterschiedliche Lösungsmethoden quadratischer Gleichungen (z.B. Mitternachtsformel); Ermittlung quadratischer Gleichungen anhand der vorgegebenen Lösung(en); Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen zurückgeführt werden können - Lehrplan Baden-Württemberg, berufliches Gymnasium, 5. Klasse

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Merke:
    • a ist der x² zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x² steht)
    • b ist der x zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x steht). Kommt x in der Gleichung nicht vor, so ist b = 0.
    • c ist die Konstante (d.h. c steht solo, ohne x oder x²). Kommt keine Konstante in der Gleichung vor, so ist c = 0.

Bringe die Gleichung durch Addition/Subtraktion in die Form ax² + bx + c = 0, und zwar so, dass sich ein POSITIVER ANFANGSKOEFFIZIENT, also a > 0 ergibt! Ordne dann richtig zu.

1
2
 
x
2
=
3x
−
5
a
=
b
=
c
=
  • Nebenrechnung
Checkos: 0 max.

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Quadratische Gleichungen Teil 2
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Quadratische Gleichungen Teil 3
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Quadratische Gleichungen Teil 4
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Quadratische Gleichungen Teil 5
Merke:
  • a ist der x² zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x² steht)
  • b ist der x zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x steht). Kommt x in der Gleichung nicht vor, so ist b = 0.
  • c ist die Konstante (d.h. c steht solo, ohne x oder x²). Kommt keine Konstante in der Gleichung vor, so ist c = 0.

Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 = (-b ± √D) : 2a

Beispiel
Löse die Gleichung:
1
3
 
x
−
x
2
+
7
=
5
+
x

Eine Lösungstechnik, die bei Bruchgleichungen der Art a / b = c / d immer weiterführt, ist das sogenannte Überkreuzmultiplizieren. Man multipliziert dabei den linken Zähler mit dem rechten Nenner und den rechten Zähler mit dem linken Nenner und setzt beide Produkte gleich.

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form
  • (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
  • (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3
Beispiel
Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:

  1. a² + 2ab + b² = (a + b)²
  2. a² − 2ab + b² = (a − b)²
  3. a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beispiel
Löse durch Faktorisieren:
x
2
−
1
9
=
0
Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn
  • x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
    → nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" !
  • keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
    → alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern
Beispiel
Löse jeweils mit wenig Aufwand:
−
2x²
+
3
=
2
 
          
 
1
2
·
x
−
2
2
−
3
=
−
1
 
          
 
−
2x
2
=
3x

Sofern auf einer Seite der Gleichung eine Summe oder eine Differenz von Brüchen steht, wäre eine mögliche Lösungstechnik, diese zunächst zu einem Bruch zusammenzufassen. Dazu muss man einen (möglichst kleinen) Hauptnenner bestimmen und dann beide Brüche entsprechend erweitern.

Man hätte dann eine Bruchgleichung der Art a/b = c/d , die mit Überkreuzmultiplizieren gelöst werden kann.

Satz von Vieta: Der quadratische Term

x² + bx + c

kann faktorisiert werden, wenn man zwei Zahlen p und q findet, die
  • addiert b ergeben und
  • multipliziert c
Dann ist der obere Term äquivalent zu

(x + p) · (x + q)

Beispiel
Löse durch Faktorisierung:
x
2
−
7x
+
6
=
0