1.4 Unbestimmtes Integral und Integrationsregeln, Matheübungen

Integralrechnung - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 16 Aufgaben in 3 Levels

Hilfe
  • Hilfe zum Zwischenschritt

    Im Zähler muss die Ableitung des Nenners stehen.

  • Beispiel zum Level
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level
    Ist f(x) ein Bruchterm und steht im Zähler der Ableitungsterm des Nenners, so lässt sich folgende Stammfunktion angeben:

    f(x) = g'(x)/g(x) ⇒ F(x) = ln|g(x)|

  • Tipp zum Level
    Prüfe für eine Stammfunktion mit Logarithmus, ob der Zähler bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Nenners ist.
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 2
  • Ergänze, so dass F Stammfunktion von f ist. Brüche in der Form "a/b" eingeben, x-Potenzen in der Form "x^n".
  • Zwischenschritte aktiviert
  • Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.

    • \(\displaystyle f(x)=\frac{3x}{1-x^{2}}\)

    \(\displaystyle F(x)= ▉ \cdot\ln\left| ▉ \right|\)Es können keine passenden Zahlen eingesetzt werden.
    Schritt 1 von 3

    \(\displaystyle \int \colorbox{yellow}{$\frac{g'(x)}{g(x)}$}\,\mathrm{d}x=\ln\left|g(x)\right|+C\)

    Welcher Term müsste im Zähler des Bruchterms \(\displaystyle f(x)\) stehen, damit die Formel oben angewendet werden kann?

    Zählerterm:

Beispiel
Hilfe
Notizen
Zeichen
Lösung
  • Achtung
    Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt der Zwischenschritt als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diese Aufgabe verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
Stoff zum Thema (+Video)
FLÄCHE berechnen INTEGRAL – Integralrechnung Flächenberechnung
Lernvideo

FLÄCHE berechnen INTEGRAL – Integralrechnung Flächenberechnung

Kanal: MathemaTrick
Was sind die Stammfunktionen von exp(x), sin(x) und cos(x) und was ist bei der Integration von f(ax+b) zu beachten?
#576
  • Stammfunktionen von sin, cos und exp:

∫ sin (x) dx = − cos (x) + C

∫ cos (x) dx = sin (x) + C

∫ ex dx = ex + C

  • Beachte aufgrund der Kettenregel (a ≠ 0):

∫ f ( ax + b ) dx

= 1/a · F ( ax + b) + C

Beispiel
Gib jeweils eine Stammfunktion an.
a) 
f
 
x
=
2e
4x
+
1
a) 
f
 
x
=
sin
 
0,5x
−
π
Wie findet man die Stammfunktion eines Bruchterms, wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht?
#571
Ist f(x) ein Bruchterm und steht im Zähler der Ableitungsterm des Nenners, so lässt sich folgende Stammfunktion angeben:

f(x) = g'(x)/g(x) ⇒ F(x) = ln|g(x)|

Beispiel
Bestimme, falls möglich, eine Stammfunktion:
a) 
f(x)
=
3
3x
+
1
b) 
f(x)
=
3x
+
1
3x
2
+
2x
c) 
f(x)
=
3x
+
1
3x
3
−
x
Wie bestimmt man die Fläche unter einem Graphen ohne Schnittpunkte mit der x-Achse?
#577
Besitzt der Graph einer Funktion im Intervall ]a;b[ keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, so erhält man die Fläche, die er in diesem Intervall mit der x-Achse einschließt durch Integration von f zwischen den Integrationsgrenzen a und b. Bei negativem Integralwert (wenn das betrachtete Flächenstück unter der x-Achse liegt) ist der Betrag davon zu nehmen.