3.2 Verschiebung von Hyperbeln, Matheübungen

Elementare gebrochen-rationale Funktionen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse) - 20 Aufgaben in 4 Levels

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Bestimme die Asymptoten des Graphen und ermittle die Paramter b und c der gebrochen-rationalen Funktion. Verwende anschließend einen Punkt des Graphen um auch noch den Parameter a herauszufinden.
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Anhand der Asymptoten und mithilfe eines Punkts des Graphen kann man bei elementaren gebrochen-rationalen Funktionen vom Graphen auf den Funktionsterm schließen (siehe Beispiel).
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 4
  • Bestimme zum gegebenen Graphen einen passenden Funktionsterm.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • graphik
    Ein zum Graphen passender Funktionsterm hat die Form 
    f(x)
    =
    a
    x
    +
    b
    +
    c.
    Bestimme die Werte für a, b und c und stelle den Term auf, der sich damit ergibt:
    f(x)
    =
     ▉ 
    x
     
    		 ▉ 
     
    		 ▉ 
    Eingabehilfe: bei 
    f(x)
    =
    2
    x
    −
    3
    +
    5
     wäre im unteren Feld "−3" und im rechten Feld "+5" einzutragen.
    Schritt 1 von 4
    Bestimme Gleichungen der Asymptoten von Gf.
    x
    =
       
    y
    =
    Ermittle mithilfe der Asymptoten die Werte für b und c.
    b
    =
       
    c
    =
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
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Notizfeld
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Stoff zum Thema
Wie beeinflussen die Parameter b und c den Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion y=a/(x+b)+c?
#837

Der Parameter \(b\) im Term einer elementaren gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung \(y=\frac{a}{x+b}+c\) bewirkt eine Verschiebung in \(x\text{-Richtung}\), der Parameter \(c\) eine Verschiebung in \(y\text{-Richtung}\) (siehe Beispiel).

Beispiel 1
Den Graphen der Funktion g mit dem Term 
g(x)
=
a
x
+
b
+
c
 erhält man aus dem Graphen der Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
a
x
 durch
  • Verschiebung um |b| in 
    negative
     x-Richtung, falls b 
    positiv
     ist, bzw.
  • Verschiebung um |b| in 
    positive
     x-Richtung, falls b 
    negativ
     ist,
und durch
  • Verschiebung um |c| in positive y-Richtung, falls c positiv ist, bzw.
  • Verschiebung um |c| in negative y-Richtung, falls c negativ ist.
Die Form der Hyperbel ändert sich dabei nicht, solange der Zähler des Bruchterms gleich bleibt (hier a).
Aufgabenbeispiel:
graphik
Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graphen von f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 hervorgeht, und gib einen passenden Funktionsterm für g an.
Beispiel 2

Beschreibe, wie der Graph von \(f\) aus dem Graphen von \(g\) entsteht:

\(f(x)=\frac{1}{x+1}+3\)

\(g(x)=\frac{1}{x-3}-1\)

Wie beeinflusst der Parameter a den Graphen der Funktion y=a/x?
#838
Der Parameter a im Term einer gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung y=a/x kann eine Streckung in y-Richtung und eine Spiegelung an der x-Achse bewirken (siehe Beispiel).
Beispiel
Den Graphen der Funktion g mit dem Term 
g(x)
=
a
x
 erhält man aus dem Graphen der Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 durch
  • Streckung um den Faktor |a| in y-Richtung und,
  • falls a negativ ist, durch Spiegelung an der x-Achse.
Aufgabenbeispiel:
graphik
Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graphen von f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 hervorgeht, und gib einen passenden Funktionsterm für g an.
Wie leitet man den Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion aus ihrem Graphen ab?
#839
Anhand der Asymptoten und mithilfe eines Punkts des Graphen kann man bei elementaren gebrochen-rationalen Funktionen vom Graphen auf den Funktionsterm schließen (siehe Beispiel).
Beispiel
Für elementare gebrochen-rationale Funktionen kann man aus einem gegebenen Graphen auf den zugehörigen Funktionsterm der Form 
f(x)
=
a
x
+
b
+
c
 schließen, indem man …
  • … die senkrechte und die waagrechte Asymptote am Graphen abliest,
  • … damit im Funktionsterm die Werte der Paramter b und c festlegt,
  • … einen Punkt des Graphen abliest und die Koordinaten dieses Punkts in den Funktionsterm einsetzt ("Punktprobe")
  • … und die entstehende Gleichung nach dem Parameter a auflöst, um auch dessen Wert zu bestimmen.
Den gesuchten Funktionsterm erhält man schließlich durch Einsetzen der Werte von a, b und c in den allgemeinen Funktionsterm.
Aufgabenbeispiel:
graphik
Bestimme den zum Graphen passenden Funktionsterm.