Wahrscheinlichkeit - Baumdiagramm, Pfadregeln, reduzierter Baum, Gegenereignis, Matheübungen

Mehrstufige Zufallsexperimente, Reduktion auf relevante Pfade, Einbezug des Gegenereignisses - Lehrplan für 5.-13. Klasse

Hilfe
  • Beim Spiel "Kniffel" geht es darum, mit fünf Würfeln bestimmte Muster von Augenzahlen wie z.B. "große Straße" zu erzielen. Man darf maximal dreimal hintereinander würfeln. Beim ersten Mal würfelt man mit allen fünf Würfeln gleichzeitig. Nach jedem Wurf kann der Spieler entscheiden, ob er noch einmal würfelt und wenn ja, welche Würfel er liegenlässt und welche er zurück in den Würfelbecher wirft. Am Ende zählen die Augenzahlen, die am Tisch liegen.
    • "Kleine/große Straße" bedeutet "vier/fünf aufeinander folgende Augenzahlen", also z.B. 2345 (klein) / 12345 (groß).
    • "Kniffel" bedeutet, dass alle Augenzahlen übereinstimmen, also z.B. 11111.

Typische Frage beim Würfelspiel "Kniffel". Runde auf ganze Prozent.

  • Erster Wurf: Augenzahlen 2, 3, 3, 4, 6.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine kleine oder große Straße zu erhalten, wenn man 2, 3 und 4 liegen lässt und mit den restlichen Würfeln weiterwürfelt?
    P ≈ %
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keine Berechtigung
Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhält man die Wahrscheinlichkeit für ein Elementarereignis, indem man die Ast-Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm multipliziert (1. Pfadregel).
Beispiele für Ereignis und Gegenereignis:

Ereignis A: Mindestens ein Schuss geht daneben.
Gegenereignis A: Kein Schuss geht daneben.

Ereignis B: Höchstens 9 von 10 gezogenen Kugeln sind rot.
Gegenereignis B: Alle gezogenen Kugeln sind rot.

Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis ergänzen sich jeweils zu 100%

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten kann ein Ereignis E mehrere Pfade im Baumdiagramm umfassen. Um die Wahrscheinlichkeit von E zu bestimmen, muss man die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade addieren (2. Pfadregel).
Beispiel
In einer Urne befinden sich zwei schwarze, zwei weiße und eine orange Kugeln. Es werden drei Kugeln hintereinander - ohne Zurücklegen - gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Farbe einmal drankommt?
Jedes Ereignis E besitzt ein Gegenereignis E, das alle anderen Ergebnisse umfasst, die die nicht zu E gehören. Jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments gehört also entweder zu E oder zum E.

Achtung: Gegenereignis ≠ Gegenteil (umgangssprachlich). Das Gegenereignis von z.B. "alle Bälle weiß" (beim mehrmaligen Ziehen aus einer Urne mit schwarzen und weißen Bällen) ist nicht "alle Bälle schwarz", sondern "mindestens ein Ball schwarz".

Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis ergänzen sich jeweils zu 100%.

Beispiel
Beim Würfeln mit zwei Würfeln gelten folgende gerundete Wahrscheinlichkeiten:
Augensumme
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Wahrscheinlichkeit
2,8%
5,6%
8,3%
11,1%
13,9%
16,6%
13,9%
11,1%
8,3%
5,6%
2,8%
Berechne die Wahrscheinlichkeit für "Augensumme ist mindestens 4".

Bei einem Laplace-Experiment kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E nach folgender Formel bestimmen:

Anzahl der Ergebnisse in E : Anzahl aller möglichen Ergebnisse