Was bedeutet es in der Mathematik, wenn gesagt wird, dass Bedingung A und Bedingung B oder nur eine der Bedingungen erfüllt sein soll?

"Das eine und das andere soll erfüllt sein" bedeutet, dass beides erfüllt sein muss.

"Das eine oder das andere soll erfüllt sein" bedeutet, dass mindestens eines von beiden erfüllt sein muss, gerne auch beides zusammen.

Beispiel

Gib die Anzahl aller dreistelligen Zahlen an, an deren Zehnerstelle eine Ziffer kleiner als 5 steht und deren Hunderter- und Einerziffern in der Summe 5 ergeben.

Lösung: Die Hunderterstelle muss mindestens 1 sein, weil die Zahl sonst nicht dreistellig ist. Pro Zeile bleibt die Zehnerziffer gleich, die Hunderter- und Einerziffern werden systematisch hoch- bzw. runtergezählt, so dass die Summe immer 5 beträgt:

144; 243; 342; 441; 540 (5 Zahlen mit 4 an der Zehnerstelle)

134; 233; 332; 431; 530 (5 Zahlen mit 3 an der Zehnerstelle)

...

104; 203; 302; 401; 500 (5 Zahlen mit 0 an der Zehnerstelle)

Insgesamt 5·5 = 25 Zahlen.

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Ersetzt man in der Aufgabenstellung oben das Wort und durch oder, so ergibt sich eine andere Anzahl. Man geht am besten in drei Schritten vor:

(1) Anzahl der Zahlen mit einer Ziffer kleiner als 5 an der Zehnerstelle:

Die Zahl setze sich aus den Ziffern xyz zusammen. Für die Hunderterstelle x können Ziffern von 1 bis 9 (9 Möglichkeiten), für die Zehnerstelle y können Ziffern von 0 bis 4 (5 Möglichkeiten) und für die Einerstelle z können Ziffern von 0 bis 9 (10 Möglichkeiten) eingesetzt werden. Also gibt es 9·5·10 = 450 Zahlen.

(2) Anzahl der Zahlen, deren Hunderter- und Einerziffern in der Summe 5 ergeben:

Wie oben gesehen, gibt es - bei gleichbleibender Zehnerziffer - 5 solche Zahlen. Für die Zehnerziffer können alle Ziffern von 0 bis 9 (10 Möglichkeiten) eingesetzt werden, das ergibt 5·10 = 50 Zahlen.

(3) Die eigentlich gesuchte Anzahl:

Oder heißt, dass mindestens eine der beiden Eigenschaften erfüllt ist. Also addiert man die Ergebnisse von (1) und (2). Dabei werden die Zahlen, bei denen beide Eigenschaften erfüllt sind (z.B. 144) aber doppelt gezählt. Zum Ausgleich muss also noch 25 (das Ergebnis mit und) abgezogen werden:

450

−

475

Siehe auch