Wie berechnet man die Oberfläche eines Kegels und beschreibt sein Netz?

Netz und Oberflächeninhalt eines Kegels

Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus:

  • Grundfläche G: ein Kreis mit Radius r
  • und Mantelfläche M: ergibt abgewickelt einen Kreissektor mit Kegelspitze als Mittelpunkt und Mantellinie s als Radius. Die Bogenlänge b des Kreissektors ist genauso lang wie der Umfang des Grundflächenkreises (b = 2 π · r).

Der Oberflächeninhalt O eines Kegels ist:

O = G + M = π · r2 + π · r · s

Beispiel 1
Ein 2,5 dm hoher Kegel hat eine Grundfläche, deren Durchmesser 16 cm beträgt. Berechne die Oberfläche des Kegels.
O ≈
 
?cm
2

Lösung:
Der gegebene Kegel sieht folgendermaßen aus (nicht maßstabsgetreu):
graphik
  • Grundfläche
Die Grundfläche ist ein Kreis mit Radius 8 cm.
G
=
A
Kreis
=
π
·
r
2
=
π
·
8
2
=
64
 
π
 
cm
2
  • Mantelfläche
In der Formel für den Mantelflächeninhalt taucht die Länge der Mantellinie s auf. Diese kann mithilfe des Satzes von Pythagoras aus dem gegebenen Radius und der Höhe berechnet werden:
r
2
+
h
2
=
s
2
s
=
r
2
+
h
2
s
=
8
2
+
25
2
=
689
 
cm
Damit ergibt sich für die Mantelfläche:
M
=
π
·
r
·
s
=
8
·
689
·
π
 
cm
2
  • Oberfläche des Kegels
O
=
G
+
M
=
64
 
π
+
8
 
689
 
π
860,77
 
cm
2
  • Erklärung und Vertiefung
graphik
Die Mantelfläche ist abgewickelt ein Kreissektor mit Radius s und Mittelpunktswinkel α. Die Länge der Mantellinie s kann - sofern sie nicht gegeben ist - mithilfe des Satzes von Pythagoras aus Radius und Höhe berechnet werden.
Der Mittelpunktswinkel α kann über die Bogenlänge b des Kreissektors ermittelt werden. Es gilt:
b
=
·
s
·
α
360
 
 
 
 
(Bogenlänge eines Kreissektors mit Radius s und Mittelpunktswinkel α)
und
b
=
·
r
 
 
 
 
(da die Bogenlänge des Mantels dem Umfang der Kegelgrundfläche entspricht)
Durch Gleichsetzen beider Formeln ergibt sich folgender Zusammenhang:
·
s
·
α
360
=
·
r
:
·
s
α
360
=
r
s
Für den Flächeninhalt der Mantelfläche ergibt sich damit die Formel:
M
=
π
·
s
2
·
α
360
 
 
 
(Flächeninhaltsformel für einen Kreissektor)
M
=
π
·
s
2
·
r
s
M
=
π
·
r
·
s
Beispiel 2
Der Radius der Kegelgrundfläche ist 0,4 cm lang. Die Länge der Mantellinie beträgt 12 mm. Berechne die Oberfläche des Kegels.
O ≈
 
?mm
2

Lösung:
Der gegebene Kegel sieht folgendermaßen aus (nicht maßstabsgetreu):
graphik
  • Grundfläche
Die Grundfläche ist ein Kreis mit Radius 4 mm.
G
=
A
Kreis
=
π
·
r
2
=
π
·
4
2
=
16
 
π
 
mm
2
  • Mantelfläche
M
=
π
·
r
·
s
=
π
·
4
·
12
=
48
 
π
 
mm
2
  • Oberfläche des Kegels
O
=
G
+
M
=
16
 
π
+
48
 
π
=
64
 
π
 
201,06
 
mm
2
  • Erklärung und Vertiefung
graphik
Die Mantelfläche ist ein Kreissektor mit Radius s und Mittelpunktswinkel α. Die Länge der Mantellinie s kann - sofern sie nicht gegeben ist - mithilfe des Satzes von Pythagoras aus Radius und Höhe berechnet werden.
Der Mittelpunktswinkel α kann über die Bogenlänge b des Kreissektors ermittelt werden. Es gilt:
b
=
·
s
·
α
360
 
 
 
 
(Bogenlänge eines Kreissektors mit Radius s und Mittelpunktswinkel α)
und
b
=
·
r
 
 
 
 
(da die Bogenlänge des Mantels dem Umfang der Kegelgrundfläche entspricht)
Durch Gleichsetzen beider Formeln ergibt sich folgender Zusammenhang:
·
s
·
α
360
=
·
r
:
·
s
α
360
=
r
s
Für den Flächeninhalt der Mantelfläche ergibt sich damit die Formel:
M
=
π
·
s
2
·
α
360
 
 
 
(Flächeninhaltsformel für einen Kreissektor)
M
=
π
·
s
2
·
r
s
M
=
π
·
r
·
s

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