Welche Termbestandteile einer zusammengesetzten Funktion beeinflussen die Definitionsmenge und welche Beschränkungen gelten?
Bei der Bestimmung der Definitionsmenge einer zusammengesetzten Funktion muss man auf folgende Termbestandteile achten:
- Wurzelterme
- Bruchterme
- Logarithmusterme
Beispiel
Gib jeweils die maximale Definitionsmenge der folgenden Funktionsterme an.
a)
| = |
|
b)
| = |
|
zu a)
Der Radikand
ist der Term einer nach oben geöffneten Parabel. Die Nullstellen dieser Parabel ergeben sich aus:
| − | 6 |
| = |
| Lösungsformel | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| = |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| = |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| = |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Weil die nach oben geöffnete Parabel nur "außerhalb" der Nullstellen
und
im Positiven verläuft, ergibt sich als Definitionsmenge die Vereinigungsmenge zweier Intervalle, nämlich:
| = |
|
| = | 3 |
D = ]-∞; -2] ∪ [3; +∞[
Hinweis: Vertauscht man im Radikanden die Vorzeichen und betrachtet somit die Funktion
so steht der Radikand für die entsprechende nach unten geöffnete Parabel. Diese verläuft nur zwischen den Nullstellen im Positiven und als Definitionsmenge erhält man:
| = |
|
D2 = [-2; 3]
Zu b)
Für den Radikanden des Wurzelterms muss gelten
und somit
| 0 |
|
|
Für den Nenner des Bruchterms muss gelten
und somit
| 0 |
|
|
Da beide Bedingungen erfüllt sein müssen, ergibt sich als maximale Definitionsmenge:
D = [-3; ∞[ \ {1}
Dabei steht das "\"-Symbol für "ohne"; hier sind also alle Zahlen, die mindestens -3 betragen, außer der 1, enthalten.