Welche Termbestandteile einer zusammengesetzten Funktion beeinflussen die Definitionsmenge und welche Beschränkungen gelten?

Bei der Bestimmung der Definitionsmenge einer zusammengesetzten Funktion muss man auf folgende Termbestandteile achten:
  • Wurzelterme
Der Radikand (das "Innere") eines Wurzelausdrucks muss immer mindestens 0 sein.
  • Bruchterme
Der Nenner eines Bruchterms darf nie gleich 0 sein.
  • Logarithmusterme
Das Argument (das "Innere") eines Logarithmus' muss immer positiv sein.
Beispiel
Gib jeweils die maximale Definitionsmenge der folgenden Funktionsterme an.
a) 
f
 
x
=
x
2
−
x
−
6
b) 
g
 
x
=
x
+
3
x
−
1
zu a)
Der Radikand 
x
2
−
x
−
6
 ist der Term einer nach oben geöffneten Parabel. Die Nullstellen dieser Parabel ergeben sich aus:
x
2
−
x
−
6
=
0
Lösungsformel
x
1;2
=
1
 
±
 
−
1
2
−
4
·
1
·
−
6
2
=
1
 
±
 
25
2
=
1
 
±
 
5
2
Weil die nach oben geöffnete Parabel nur "außerhalb" der Nullstellen 
x
1
 
=
−
2
 und 
x
2
 
=
3
 im Positiven verläuft, ergibt sich als Definitionsmenge die Vereinigungsmenge zweier Intervalle, nämlich:
D = ]-∞; -2] ∪ [3; +∞[
Hinweis: Vertauscht man im Radikanden die Vorzeichen und betrachtet somit die Funktion 
f
2
 
x
=
−
x
2
+
x
+
6
,
 so steht der Radikand für die entsprechende nach unten geöffnete Parabel. Diese verläuft nur zwischen den Nullstellen im Positiven und als Definitionsmenge erhält man:
D2 = [-2; 3]
Zu b)
Für den Radikanden des Wurzelterms muss gelten 
x
+
3
 
≥
 
0
 und somit 
x
 
≥
 
−
3
.
Für den Nenner des Bruchterms muss gelten 
x
−
1
 
≠
 
0
 und somit 
x
 
≠
 
1
.
Da beide Bedingungen erfüllt sein müssen, ergibt sich als maximale Definitionsmenge:
D = [-3; ∞[ \ {1}
Dabei steht das "\"-Symbol für "ohne"; hier sind also alle Zahlen, die mindestens -3 betragen, außer der 1, enthalten.
Siehe auch

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