Welche Eigenschaften hat der Graph einer ganzrationalen Funktion mit nur ungeraden Exponenten und einem negativen Leitkoeffizienten?
Ganzrationale Funktion:
\(f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\) mit \(a_n\neq0\)
Der Grad ist die höchste auftretende Potenz, \(a_n\) heißt Leitkoeffizient
Nullstellen und Vielfachheit:
In der Form \(f(x)=a\,(x-x_1)^{k_1}\cdot\ldots\cdot(x-x_m)^{k_m}\)
\(x_i\) sind Nullstellen, \(k_i\) sind die Vielfachheiten
Die Summe der Vielfachheiten aller reellen Nullstellen ist höchstens so groß wie der Grad.
ungerade Vielfachheit: Vorzeichenwechsel
gerade Vielfachheit: Berührung der \(x\)-Achse
Verhalten im Unendlichen:
Entscheidend sind nur Grad und Leitkoeffizient:
\(n\) gerade: beide Enden des Graphen zeigen in die gleiche Richtung
\(n\) ungerade: beide Enden des Graphen zeigen in entgegengesetzte Richtungen
\(a_n>0\): Graph verläuft nach rechts oben
\(a_n<0\): Graph verläuft nach rechts unten
Symmetrie:
achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse: \(f(-x)=f(x)\), nur gerade Potenzen
punktsymmetrisch zum Ursprung: \(f(-x)=-f(x)\), nur ungerade Potenzen
Punktsymmetrie bedeutet stets eine Nullstelle bei \(0\)
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und hat bei \(x=3\) eine doppelte Nullstelle. Er verläuft von links unten nach rechts unten.
Gib eine passende Funktionsgleichung an.
Eine mögliche Lösung ist: \(\underline{f(x)=-(x-3)^2(x+3)^2}\)
Wegen der Achsensymmetrie muss zu jeder Nullstelle auch die entgegengesetzte Stelle eine Nullstelle sein, und zwar mit derselben Vielfachheit. Zur doppelten Nullstelle bei \(x=3\) gehört daher eine doppelte Nullstelle bei \(x=-3\).
Als Ansatz ergibt sich: \(f(x)=a\,(x-3)^2(x+3)^2\) Der Grad ist damit \(2+2=4\), also gerade. Das passt zur Forderung, dass der Graph auf beiden Seiten in dieselbe Richtung verläuft.
Da der Graph von unten nach unten verlaufen soll, muss der Leitkoeffizient negativ sein. Zum Beispiel \(a=-1\).
Probe der Symmetrie durch Einsetzen von \(-x\):\(f(-x)=-(-x-3)^2(-x+3)^2=-(x+3)^2(x-3)^2=f(x).\) Der Graph ist also tatsächlich achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
Es gibt unendlich viele weitere Funktionsgleichungen, die alle genannten Eigenschaften erfüllen, zum Beispiel: \(f(x)=-(x-3)^2(x+3)^2\underbrace{(x^2+1)}_{\text{liefert keine weitere Nullstelle}}.\)
Oder \(\displaystyle f(x)=-3(x-3)^2(x+3)^2(x+1)(x-1)\)