Was sind die Eigenschaften einer Drehung und wie wirken sich diese auf Längen und Winkel aus?
Definition
Bei der Drehung werden Punkte oder Figuren auf Bildpunkte bzw. Bildfiguren abgebildet.
Die Drehung wird festgelegt durch:
1. Das Drehzentrum \(\boldsymbol{Z}\) (der Punkt um den gedreht wird)
2. Das Drehwinkelmaß \(\boldsymbol{\varphi}\)
Ist \(\varphi>0\), so wird gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Für \(\varphi<0\) wird mit dem Uhrzeigersinn gedreht.
Eigenschaften der Drehung
- Punkt und Bildpunkt liegen auf einem Kreis um das Drehzentrum \(Z\).
- Der Drehwinkel \(\varphi\) gibt an wie weit gedreht wird und ob mit oder gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird.
Bei der Drehung werden Punkte oder Figuren auf Bildpunkte bzw. Bildfiguren abgebildet.
Die Drehung wird festgelegt durch:
1. Das Drehzentrum \(\boldsymbol{Z}\) (der Punkt um den gedreht wird)
2. Das Drehwinkelmaß \(\boldsymbol{\varphi}\)
Ist \(\varphi>0\), so wird gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Für \(\varphi<0\) wird mit dem Uhrzeigersinn gedreht.
Eigenschaften der Drehung
- Punkt und Bildpunkt liegen auf einem Kreis um das Drehzentrum \(Z\).
- Der Drehwinkel \(\varphi\) gibt an wie weit gedreht wird und ob mit oder gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird.
Beispiel 1
Drehe das gegebene Viereck um \(80°\) um das Zentrum \(Z\)!
Die Lösung wird im Video erklärt:
Lernvideo
Figur um einen Drehwinkel um ein Drehzentrum drehen - Das genaue Vorgehen erklärt | #2
Kanal: LehrerBros - Mathe leicht gemacht
Beispiel 2
Überprüfe, ob eine Drehung vorliegen kann. Begründe Deine Entscheidung.
a) \(P\left(0|1\right)\) wird auf \(P'\left(-3|4\right)\) abgebildet. Das Drehzentrum ist \(Z\left(-3|1\right)\).
b) Das Dreieck \(STU\) mit \(S\left(0|1\right),\ T\left(3|1\right)\) und \(U\left(2|3\right)\) wird durch Drehung um \(Z\left(-3|1\right)\) auf \(S'T'U'\) mit \(S'\left(-3|4\right),\ T'\left(-3|7\right)\) und \(U'\left(-6|6\right)\) abgebildet.
c) Der Kreis \(k\) mit dem Mittelpunkt \(M\left(0|3\right)\) und dem Radius \(r=3\ cm\) wird durch Drehung um \(Z\left(-3|1\right)\) auf \(k'\) mit dem Mittelpunkt \(N\left(-5|4\right)\) abgebildet. Die Kreislinie von \(k'\) verläuft durch \(P\left(-5|7{,}5\right)\).
a) \(P\left(0|1\right)\) wird auf \(P'\left(-3|4\right)\) abgebildet. Das Drehzentrum ist \(Z\left(-3|1\right)\).
b) Das Dreieck \(STU\) mit \(S\left(0|1\right),\ T\left(3|1\right)\) und \(U\left(2|3\right)\) wird durch Drehung um \(Z\left(-3|1\right)\) auf \(S'T'U'\) mit \(S'\left(-3|4\right),\ T'\left(-3|7\right)\) und \(U'\left(-6|6\right)\) abgebildet.
c) Der Kreis \(k\) mit dem Mittelpunkt \(M\left(0|3\right)\) und dem Radius \(r=3\ cm\) wird durch Drehung um \(Z\left(-3|1\right)\) auf \(k'\) mit dem Mittelpunkt \(N\left(-5|4\right)\) abgebildet. Die Kreislinie von \(k'\) verläuft durch \(P\left(-5|7{,}5\right)\).
a) Um zu prüfen, ob \(P'\) der Bildpunkt von \(P\) sein kann, muss man kontrollieren, ob die beiden Punkte den gleichen Abstand vom Zentrum haben.
b) Es gilt zwei Kriterien zu überprüfen:
c) Es gilt zwei Kriterien zu überprüfen:
Möglichkeit 1:
Ziehe einen Kreis um \(Z\) mit dem Radius \(|\overline{ZP}|\). Wenn \(P'\) auf der Kreislinie liegt, so handelt es sich um eine Drehung. Andernfalls nicht.
Möglichkeit 2: Miss \(|\overline{ZP}|\) und \(|\overline{ZP'}|\). Wenn \(|\overline{ZP}|=|\overline{ZP'}|\) gilt, so handelt es sich um eine Drehung, andernfalls nicht.
In diesem Beispiel kann eine Drehung vorliegen, da die beiden Punkte den gleichen Abstand vom Drehzentrum haben.
Möglichkeit 2: Miss \(|\overline{ZP}|\) und \(|\overline{ZP'}|\). Wenn \(|\overline{ZP}|=|\overline{ZP'}|\) gilt, so handelt es sich um eine Drehung, andernfalls nicht.
In diesem Beispiel kann eine Drehung vorliegen, da die beiden Punkte den gleichen Abstand vom Drehzentrum haben.
b) Es gilt zwei Kriterien zu überprüfen:
Kriterium 1:
Punkt und Bildpunkt müssen jeweils den gleichen Abstand zum Zentrum haben. Siehe a)
Kriterium 2: Der Drehwinkel muss für alle Punkte der gleiche sein. Zeichne dazu die Verbindungslinien \(|ZS|\) und \(|ZS'|\). Miss den Winkel von \(|ZS|\) nach \(|ZS'|\). Verfahre genau so für die anderen Punktepaare. Bei einer Drehung müssen alle drei Winkel gleich groß sein.
In diesem Beispiel ist eine Drehung nicht möglich, da bereits Kriterium 1 nicht erfüllt ist.
Kriterium 2: Der Drehwinkel muss für alle Punkte der gleiche sein. Zeichne dazu die Verbindungslinien \(|ZS|\) und \(|ZS'|\). Miss den Winkel von \(|ZS|\) nach \(|ZS'|\). Verfahre genau so für die anderen Punktepaare. Bei einer Drehung müssen alle drei Winkel gleich groß sein.
In diesem Beispiel ist eine Drehung nicht möglich, da bereits Kriterium 1 nicht erfüllt ist.
c) Es gilt zwei Kriterien zu überprüfen:
Kriterium 1:
\(M\) und \(N\) müssen den gleichen Abstand vom Drehzentrum \(Z\) haben. Siehe a)
Kriterium 2: Die Radien der beiden Kreise müssen gleich groß sein.
In diesem Beispiel ist eine Drehung nicht möglich. Kriterium 1 ist zwar erfüllt. Jedoch ist der Radius von \(k'\) 3,5, der von \(k\) aber 3.
Kriterium 2: Die Radien der beiden Kreise müssen gleich groß sein.
In diesem Beispiel ist eine Drehung nicht möglich. Kriterium 1 ist zwar erfüllt. Jedoch ist der Radius von \(k'\) 3,5, der von \(k\) aber 3.