Wie bestimmt man die Lage und Schnittgerade zweier Ebenen, wenn eine in Parameterform und die andere in Normalenform gegeben ist?

Ist die Ebene E durch eine Gleichung in Normalenform und die Ebene F durch eine Gleichung in Paramterform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:
  1. Setze F in E ein, d.h. ersetze x1, x2 und x3 in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen des F-Gleichungssystems.
  2. Löse die entstehende λ,μ-Gleichung, wenn möglich, z.B. nach μ auf und setze das Ergebnis in die F-Gleichung für μ ein.
  3. Fasse zu "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor" zusammen.
Eine Schnittgerade liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind die Ebenen parallel, und zwar
  • echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
  • identisch, wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.
Beispiel
E
:
x
1
+
5x
2
+
13x
3
−
2
=
0
F
:
X
=
1
2
−
3
+
λ
 
1
0
2
+
μ
 
1
−
1
1
G
:
X
=
0
−
1
3
+
λ
 
2
−
3
1
+
μ
 
5
−
1
0
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Ebenen F und G und bestimme, falls vorhanden, die Gleichung der jeweiligen Schnittgerade in Parameterform.
Lösung siehe Video:
Lage zweier Ebenen zueinander, Koordinatenform Parameterform
Lernvideo

Lage zweier Ebenen zueinander, Koordinatenform Parameterform

Kanal: Mathegym
Siehe auch

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