Wie bestimmt man die Lage und Schnittgerade zweier Ebenen in Normalenform?
Sind zwei Ebenen E und F jeweils durch eine Gleichung in Normalenform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:
- Vergleiche zuerst die Normalenvektoren beider Ebenen: sind sie linear abhängig, so sind E und F parallel. Lässt sich zudem die Gleichung von E durch Äquivalenzumformung (Multiplikation mit geeignetem Faktor auf beiden Seiten) in die Gleichung von F überführen, so sind E und F sogar identisch.
- Andernfalls schneiden sich E und F. Eine Gleichung in Parameterform für die Schnittgerade s erhält man so:
- Setze z.B. x1 = λ.
- Löse z.B. die Gleichung von E nach x2 auf und setze das Ergebnis in die Gleichung von F ein. So erhältst du eine Gleichung der Sorte x3 = ....λ....
- Setze dieses Ergebnis in E ein und du du erhältst schließlich x2=...λ...
- Schreibe die Ergebnisse für x1, x2 und x3 untereinander und forme daraus "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor".
Beispiel
| = | 0 |
| = | 0 |
| = | 0 |
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Ebenen F und G und bestimme, falls vorhanden, die Gleichung der jeweiligen Schnittgerade in Parameterform.
Lösung siehe Video:
Lernvideo
Lage zweier Ebenen zueinander, beide in Normalenform gegeben
Kanal: Mathegym
Siehe auch
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