Wie kann man ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen lösen?

Ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten lässt sich nach demselben Rezept lösen wie bei zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Z.B. mit dem Einsetzungsverfahren:
  1. Löse eine Gleichung nach einer Unbekannten auf.
  2. Setze in die anderen beiden Gleichungen ein.
  3. Nun hast du nur noch zwei Gleichungen und zwei Unbekannte; löse wie gewohnt.
  4. Ganz zum Schluss, wenn du die beiden Unbekannten aus Schritt 3 ermittelt hast, setze diese in die Gleichung aus Schritt 1 ein und ermittle damit die dritte Unbekannte.
Beispiel
Von drei Unbekannten a, b und c weiß man:
  • Die Summe von a, b, c und 17 ist gleich das Doppelte der Differenz von a und b
  • Die Summe von a und b ist gleich das Doppelte von c
  • Das Dreifache von a ist gleich das Vierfache von b
Bestimme a, b und c mittels geeignetem Gleichungssystem.
Zunächst stellt man drei Gleichungen auf:
I: 
a
+
b
+
c
+
17
=
2
·
a
−
b
II: 
a
+
b
=
2c
III: 
3a
=
4b

Gleichung (I) lässt sich vereinfachen:
a
+
b
+
c
+
17
=
2a
−
2b
−
2a
+
2b
−
a
+
3b
+
c
+
17
=
0
Hier also nochmal das vereinfachte Gleichungssystem komplett:
I: 
−
a
+
3b
+
c
+
17
=
0
II: 
a
+
b
=
2c
III: 
3a
=
4b

Als nächstes löst man eine der Gleichungen nach einer der drei Unbekannten auf. Hier bietet es sich an, in (III) nach b aufzulösen:
III: 3a
=
4b
:
4
b
=
3
4
 
a
Dies setzt man nun in die anderen beiden Gleichungen ein, d.h. man ersetzt jeweils b durch 
3
4
 
a
:
I': 
−
a
+
3
·
3
4
 
a
+
c
+
17
=
0
II': 
a
+
3
4
 
a
=
2c

Vereinfacht:
I': 
5
4
 
a
+
c
+
17
=
0
II': 
7
4
 
a
=
2c
Jetzt hat man nur nur noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Man fährt nach dem gleichen Prinzip fort, z.B. löst man II' nach c auf:
II':
 
7
4
 
a
=
2c
:
2
c
=
7
8
 
a
In (I') eingesetzt führt dies zu einer Gleichung mit einer Unbekannten, die gelöst werden kann:
5
4
 
a
+
7
8
 
a
+
17
=
0
17
8
 
a
+
17
=
0
−
17
17
8
 
a
=
−
17
·
8
17
a
=
−
8

Sobald man eine Unbekannte ermittelt hat, muss man nur noch in die früheren Gleichungen einsetzen, um die anderen Unbekannten zu ermitteln:
a
=
−
8
 in II' einsetzen:
c
=
7
8
·
−
8
=
−
7
a
=
−
8
 in III einsetzen:
b
=
3
4
·
−
8
=
−
6
Damit hat man das Gleichungssystem gelöst. Um sicherzugehen, könnte man 
a
=
−
8, b
=
−
6 und c
=
−
7
 in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen und überprüfen, ob wahre Aussagen herauskommen (Probe).

Im Video wird ein weiteres Beispiel behandelt.
GLEICHUNGSSYSTEM aufstellen Textaufgabe – Gleichungssysteme lösen
Lernvideo

GLEICHUNGSSYSTEM aufstellen Textaufgabe – Gleichungssysteme lösen

Kanal: MathemaTrick
Siehe auch

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