Wie lautet der Term einer Gauß'schen Glockenfunktion und wie beeinflussen μ und σ die Lage und Form ihres Graphen?
Eine Gauß'sche Glockenfunktion besitzt den in der Abbildung dargestellten Graphen und Term:
- Lage des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
- Form des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
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| Kehrwert bilden | |||||||||||||||||||||||||
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Gegeben ist die Gauß'sche Glockenfunktion \(\varphi(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-4)^2}{8}}\) mit der Integralfunktion \(\Phi(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)\,dt\text{.}\)
a) Bestimme für den Graphen von \(\varphi\) die Stelle des Hochpunkts und der Wendepunkte.
b) Gib für den Graphen von \(\Phi\) die Symmetrie und die Stelle der größten Steigung an.
a) Man vergleicht den Term mit \(\varphi_{\mu;\sigma}(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) und liest ab: \(\mu=4\) und \(\sigma=2\text{,}\) denn \(2\sigma^2=8\text{.}\)
Graph von \(\varphi\text{:}\) Der Hochpunkt liegt an der Stelle \(\underline{x=4}\text{,}\) die Wendepunkte liegen an den Stellen \(\underline{x=\mu\pm\sigma}\text{,}\) also bei \(\underline{x=2}\) und \(\underline{x=6}\text{.}\) Der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x=4\text{.}\)
b) Graph von \(\Phi\text{:}\) Wegen der Achsensymmetrie von \(\varphi\) ist der Graph von \(\Phi\) punktsymmetrisch zum Punkt \(\underline{(4|0{,}5)}\text{.}\) Da \(\varphi\) bei \(x=4\) ihr Maximum hat, steigt \(\Phi\) dort am stärksten, der Graph von \(\Phi\) hat also bei \(\underline{x=4}\) seinen Wendepunkt. Die größte Steigung beträgt \(\varphi(4)=\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}\approx 0{,}2\text{.}\)
Ermittle anhand des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion bzw. ihrer Integralfunktion die Parameter \(\mu\) und \(\sigma\text{.}\)
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Gauß'schen Glockenfunktion.
Die Abbildung zeigt den Graphen der Integralfunktion einer Gauß'schen Glockenfunktion mit Untergrenze \(-\infty\text{.}\)
Teil 1:
Der Hochpunkt \((3|0{,}25)\) ist präzise ablesbar. Aus seiner \(x\text{-}\)Koordinate folgt unmittelbar \(\underline{\mu=3}\text{.}\) Seine \(y\text{-}\)Koordinate stimmt mit \(\varphi_{\mu;\sigma}(\mu)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{0}=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) überein.
Daraus folgt:
\(0{,}25=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\quad|\cdot\sigma\;:0{,}25\)
\(\sigma=\dfrac{1}{0{,}25\cdot\sqrt{2\pi}}\approx\underline{1{,}60}\)
Teil 2:
Der Wendepunkt \((-2|0{,}5)\) ist präzise ablesbar. Die Steigung des Graphen an diesem Punkt lässt sich mit einem Steigungsdreieck ebenfalls näherungsweise bestimmen, zum Beispiel aus \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{0{,}3}{1}=0{,}3\text{.}\)
Aus der \(x\text{-}\)Koordinate des Wendepunkts folgt unmittelbar \(\underline{\mu=-2}\text{.}\)
Die Steigung an dieser Stelle stimmt mit \(\varphi_{\mu;\sigma}(\mu)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) überein.
Daraus folgt:
\(0{,}3=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\quad|\cdot\sigma\;:0{,}3\)
\(\sigma=\dfrac{1}{0{,}3\cdot\sqrt{2\pi}}\approx\underline{1{,}33}\)
