Wie verändern sich die Vektorkoordinaten bei einer Drehung um 180 Grad?
Bildet man den Vektor \(\overrightarrow{ZA}\) durch eine Drehung um \(180^\circ\) auf den Vektor \(\overrightarrow{ZA'}\) ab, dann ist \(\overrightarrow{ZA'}\) der Gegenvektor von \(\overrightarrow{ZA}\).
Für die Vektorkoordinaten gilt also: \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}\).
Für die Vektorkoordinaten gilt also: \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}\).
Beispiel
Gegeben sind die Punkte \(Z\left(4|3\right)\) und \(A\left(-2|2\right)\).
Bestimme \(\overrightarrow{ZA}\) sowie \(\overrightarrow{ZA'}\) und \(A'\) bei einer Drehung um \(180^\circ\).
Bestimme \(\overrightarrow{ZA}\) sowie \(\overrightarrow{ZA'}\) und \(A'\) bei einer Drehung um \(180^\circ\).
1. \(\underline{\overrightarrow{ZA}}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OZ}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\underline{\begin{pmatrix}-6\\-1\end{pmatrix}}\)
2. \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix}-6\\-1\end{pmatrix}\Rightarrow \underline{\overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}\)
3. Variante 1:
\(\quad\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AZ}+\underbrace{\overrightarrow{ZA'}}_{=\overrightarrow{AZ}}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}\)
\(\quad\Rightarrow \underline{A'\left(10|4\right)}\)
Variante 2:
\(\quad\)Es gilt:
\(\quad\begin{align}\overrightarrow{AZ}&=\overrightarrow{ZA'}\\ \begin{pmatrix}4-(-2)\\3-2\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}x_{A'}-4\\y_{A'}-3\end{pmatrix} \end{align}\)
\(\quad\)Daraus folgt:
\(\quad6=x_{A'}-4\) und \(1=y_{A'}-3\Rightarrow x_{A'}=10,\;y_{A'}=4 \)
\(\quad\Rightarrow \underline{A'\left(10|4\right)}\)
2. \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix}-6\\-1\end{pmatrix}\Rightarrow \underline{\overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}\)
3. Variante 1:
\(\quad\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AZ}+\underbrace{\overrightarrow{ZA'}}_{=\overrightarrow{AZ}}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}\)
\(\quad\Rightarrow \underline{A'\left(10|4\right)}\)
Variante 2:
\(\quad\)Es gilt:
\(\quad\begin{align}\overrightarrow{AZ}&=\overrightarrow{ZA'}\\ \begin{pmatrix}4-(-2)\\3-2\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}x_{A'}-4\\y_{A'}-3\end{pmatrix} \end{align}\)
\(\quad\)Daraus folgt:
\(\quad6=x_{A'}-4\) und \(1=y_{A'}-3\Rightarrow x_{A'}=10,\;y_{A'}=4 \)
\(\quad\Rightarrow \underline{A'\left(10|4\right)}\)