Wann sind n Vektoren im ℝ³ linear abhängig?
Eine Menge von \( n \) Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^3\) ist linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Anderfalls nennt man sie linear unabhängig.
Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung
\[ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{0} \]ist nur möglich mit \( \lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=0\).
Beispiel
Überprüfe folgende drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit:
|
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Der Ansatz
führt zu folgendem Gleichungssystem:
| + |
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| = | 0 |
| = | 0 |
| = |
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(III) in (I):
| = |
| ||||||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||||||
(III) in (II):
| = |
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| = |
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| |||||||||||||||||||||
| = |
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(I´) − 5(II´) ergibt
| = |
| ||||||||||||||
| = |
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| |||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||
… und damit, eingesetzt in (II´) und (III),
| = | 0. |
Da alle Koeffizienten 0 sind, sind die drei Vektoren linear unabhängig.
