Zweite Ableitung/Krümmung/Wendepunkt, Matheübungen

Bestimmung der lokalen Krümmung eines Graphen / maximaler Krümungsintervalle / relativer Extrema mit Hilfe der zweiten Ableitung. Zusammenhang der Graphen von f, f´und f ´´. Bestimmung von Wendepunkten und Wendetangenten. - 57 Aufgaben in 15 Levels

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    Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades besitzt n+1 Unbekannte. Zur eindeutigen Bestimmung der Funktionsgleichung wird ein Gleichungssystem benötigt, das n+1 Gleichungen enthält.

    Vorgehensweise, um die Funktionsgleichung zu bestimmen:

    1. Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung mit ihren Ableitungen auf.
    2. "Übersetze" alle gegebenen Eigenschaften in mathematische Gleichungen.
    3. Stelle das Gleichungssystem auf, indem du die Koordinaten in die gefundenen Gleichungen einsetzt.
    4. Löse das Gleichungssystem
    5. Setze die gefundene Lösung in die Funktionsgleichung ein

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 5
  • Kreuze alle richtigen Aussagen an.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • Eine Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung und hat im Punkt P(3|4) einen Wendepunkt.
    Welche Gleichungen ergeben sich daraus? Kreuze an, wenn richtig:
     ▉ 
     
    f(0)
    =
    0
     ▉ 
     
    f ' (0)
    =
    0
     ▉ 
     
    f(3)
    =
    4
     ▉ 
     
    f ' (3)
    =
    0
     ▉ 
     
    f ' ' (3)
    =
    4
     ▉ 
     
    f ' ' (3)
    =
    0
    Reicht die gegebene Information aus, um die Funktionsgleichung eindeutig zu ermitteln?
     ▉ 
    ja     
     
     ▉ 
    nein
    Schritt 1 von 2
    Welche Gleichungen ergeben sich aus den Informationen oben? Kreuze an, wenn richtig:
     
    f(0)
    =
    0
     
    f ' (0)
    =
    0
     
    f(3)
    =
    4
     
    f ' (3)
    =
    0
     
    f ' ' (3)
    =
    4
     
    f ' ' (3)
    =
    0
  • keine Berechtigung
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Beispiel-Aufgabe
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Stoff zum Thema (+Video)
Zweite Ableitung und Krümmung
Lernvideo

Zweite Ableitung und Krümmung

Kanal: Mathegym
Wie erhält man die zweite Ableitung f´´ und unter welchen Bedingungen existiert sie?
#513
Leitet man f ab, so erhält man f ´ (erste Ableitung von f).

Leitet man f ´ ab, so erhält man f ´´ (zweite Ableitung von f).

Um f ´´ bilden zu können, muss f zweimal differenzierbar sein.
Wie beeinflussen die Vorzeichen von f´ und f´´ den Graphenverlauf von f?
#514
f bzw Gf f ´ f ´´
streng monoton zunehmend positiv
streng monoton abnehmend negativ
linksgekrümmt streng monoton zunehmend positiv
rechtsgekrümmt streng monoton abnehmend negativ
Beispiel

Lies das jeweilige Vorzeichen von \( f(-1) \), \( f'(-1) \) und \( f''(-1) \) ab. Gib jeweils ein möglichst großes Intervall an (geschätzt), in dem \( f \), \( f' \) bzw. \( f'' \) positiv ist.

graphik
Wie bestimmt man den Funktionsterm einer Polynomfunktion n-ten Grades anhand gegebener Grapheneigenschaften?
#681

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades besitzt n+1 Unbekannte. Zur eindeutigen Bestimmung der Funktionsgleichung wird ein Gleichungssystem benötigt, das n+1 Gleichungen enthält.

Vorgehensweise, um die Funktionsgleichung zu bestimmen:

  1. Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung mit ihren Ableitungen auf.
  2. "Übersetze" alle gegebenen Eigenschaften in mathematische Gleichungen.
  3. Stelle das Gleichungssystem auf, indem du die Koordinaten in die gefundenen Gleichungen einsetzt.
  4. Löse das Gleichungssystem
  5. Setze die gefundene Lösung in die Funktionsgleichung ein

Beispiel 1
Eine Funktion 4. Grades hat verläuft durch den Ursprung und besitzt in H(2|3) einen Hochpunkt, in T(4|-2) einen Tiefpunkt. Reicht die gegebene Information aus, um die Gleichung der ganzrationalen Funktion eindeutig zu bestimmen?
Beispiel 2
Eine Funktion 2. Grades hat einen Tiefpunkt bei (0|1) und geht durch den Punkt P(2|9).
f(x)
=
?x
2
+
?x
+
?
Was ist ein Wendepunkt und wie bestimmt man ihn rechnerisch?
#517
Stellen, an denen sich die Krümmung eines Graphen ändert, nennt man Wendepunkte. Sofern f zweimal differenzierbar ist, gilt der Zusammenhang:

Gf besitzt einen Wendepunkt an der Stelle x = a

⇔

f ´´ (a) = 0 und Vorzeichenwechsel von f ´´ bei x = a

Beispiel 1
Bestimme sämtliche Wendepunkte von Gf sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).
f
 
x
=
−
1
4
 
x
3
+
6x
2
−
45x
−
1
Beispiel 2
Bestimme sämtliche Wendepunkte von Gf sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).
f
 
x
=
−
1
4
 
x
3
+
6x
2
−
45x
−
1
Wie kann man mit der zweiten Ableitung feststellen, ob an einer Nullstelle der ersten Ableitung ein relatives Extremum vorliegt und welcher Art es ist?
#516

Sei a eine Nullstelle der ersten Ableitung, also f ´(a) = 0. Dann gilt:

f ´´ (a ) < 0 ⇒ relatives Maximum bei x = a

f ´´ (a ) > 0 ⇒ relatives Minimum bei x = a

Vorsicht: Aus f ´´ (a) = 0 folgt NICHT, dass kein relatives Extremum vorliegt. Überprüfe in diesem Fall f ´ auf Vorzeichenwechsel an der Nullstelle x = a. Zur Erinnerung:

VZW +/- von f ´ ⇔ relatives Maximum

VZW -/+ von f ´ ⇔ relatives Minimum

kein VZW von f´ ⇔ Terrassenpunkt

Wie bestimmt man die Krümmungsintervalle eines Funktionsgraphen?
#515
Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
Beispiel 1
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion 
f
 
x
=
x
4
−
2x
3
−
9
2
 
x
2
+
2x.
Beispiel 2
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion
 
f
 
x
=
x
4
−
2x
3
−
9
2
 
x
2
+
2x
 
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