Zweite Ableitung/Wendepunkte/Krümmung von Graphen, Matheübungen

Bestimmung der lokalen Krümmung eines Graphen / maximaler Krümungsintervalle / relativer Extrema mit Hilfe der zweiten Ableitung. Zusammenhang der Graphen von f, f´und f ´´. Bestimmung von Wendepunkten und Wendetangenten. - Lehrplan - 43 Aufgaben in 11 Levels

Hilfe
  • Hilfe zum Thema
    Leitet man f ab, so erhält man f ´ (erste Ableitung von f).

    Leitet man f ´ ab, so erhält man f ´´ (zweite Ableitung von f).

    Um f ´´ bilden zu können, muss f zweimal differenzierbar sein.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 1
  • Variablenpotenzen sind in der Form x^n einzugeben.
    • f
     
    x
    =
    3x
    5
    −
    3x
    2
    +
    2x
    f ''
     
    x
    =
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Zweite Ableitung und Krümmung
Lernvideo

Zweite Ableitung und Krümmung

Kanal: Mathegym
Wie erhält man die zweite Ableitung f´´ und unter welchen Bedingungen existiert sie?
#513
Leitet man f ab, so erhält man f ´ (erste Ableitung von f).

Leitet man f ´ ab, so erhält man f ´´ (zweite Ableitung von f).

Um f ´´ bilden zu können, muss f zweimal differenzierbar sein.
Wie beeinflussen die Vorzeichen von f´ und f´´ den Graphenverlauf von f?
#514
f bzw Gf f ´ f ´´
streng monoton zunehmend positiv
streng monoton abnehmend negativ
linksgekrümmt streng monoton zunehmend positiv
rechtsgekrümmt streng monoton abnehmend negativ
Beispiel

Lies das jeweilige Vorzeichen von \( f(-1) \), \( f'(-1) \) und \( f''(-1) \) ab. Gib jeweils ein möglichst großes Intervall an (geschätzt), in dem \( f \), \( f' \) bzw. \( f'' \) positiv ist.

graphik
Wie bestimmt man die Krümmungsintervalle eines Funktionsgraphen?
#515
Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
Beispiel
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion 
f
 
x
=
x
4
−
2x
3
−
9
2
 
x
2
+
2x.
Wie kann man mit der zweiten Ableitung feststellen, ob an einer Nullstelle der ersten Ableitung ein relatives Extremum vorliegt und welcher Art es ist?
#516

Sei a eine Nullstelle der ersten Ableitung, also f ´(a) = 0. Dann gilt:

f ´´ (a ) < 0 ⇒ relatives Maximum bei x = a

f ´´ (a ) > 0 ⇒ relatives Minimum bei x = a

Vorsicht: Aus f ´´ (a) = 0 folgt NICHT, dass kein relatives Extremum vorliegt. Überprüfe in diesem Fall f ´ auf Vorzeichenwechsel an der Nullstelle x = a. Zur Erinnerung:

VZW +/- von f ´ ⇔ relatives Maximum

VZW -/+ von f ´ ⇔ relatives Minimum

kein VZW von f´ ⇔ Terrassenpunkt

Beispiel
f
 
x
=
x
3
−
x
2
−
5x
−
3
Diskutiere hinsichtlich Symmetrie zum Koordinatensystem, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Extremwerte und Monotonie und skizziere den Graphen.