Mechanik - Wurfbewegungen, Physikübungen

Senkrechter Wurf nach oben, waagrechter Wurf, schräger Wurf - Gesamtaufgabenbestand (lehrplanunabhängig)

Hilfe
  • Setze in folgende Formel ein:
    y(t)=y0 + v0·t - 1/2·g·t²
    t ist die Zeit in Sekunden,
    y0 die Anfangshöhe und
    v0 die Anfangsgeschwindigkeit.
  • Senkrechter Wurf

    Das Wurfobjekt wird aus einer Anfangshöhe \(y_0\) mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) senkrecht nach oben geworfen.
    • Das Wurfobjekt wird auf seinem Weg nach oben aufgrund der Erdbeschleunigung \(g\), die nach unten wirkt, abgebremst.
    • Nach der Steigzeit \(t_S\) erreicht das Objekt im Umkehrpunkt seine maximale Höhe \(y_{max}\). Im Umkehrpunkt ist seine Geschwindigkeit null.
    • Dann fällt das Wurfobjekt gleichmäßig beschleunigt nach unten, bis es nach der Gesamtzeit \(t_{max}\) bzw. \(t_{ges}\) am Boden auftrifft.

    Formeln:
    • Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit:
      \(v(t) = v_0 - g \ t\)
    • Höhe in Abhängigkeit der Zeit:
      \(y(t) = y_0 + v_0 \ t - \dfrac 12 \ g \ t^2\)
    Diagramme:

Berechne die gesuchte Größe beim senkrechten Wurf nach oben. Rechne mit g = 9,81 m/s². Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 1. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • Ein Ball wird vom Boden aus mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 
    20
     
    m
    s
     senkrecht nach oben geworfen.
    Berechne seine Höhe nach 
    1,0 s
    , 
    2,0 s
     und 
    4,0 s
    .
    y(1 s)
     ≈ 
     
    m
    y(2 s)
     ≈ 
     
    m
    y(4 s)
     ≈ 
     
    m
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Senkrechter Wurf

Das Wurfobjekt wird aus einer Anfangshöhe \(y_0\) mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) senkrecht nach oben geworfen.
  • Das Wurfobjekt wird auf seinem Weg nach oben aufgrund der Erdbeschleunigung \(g\), die nach unten wirkt, abgebremst.
  • Nach der Steigzeit \(t_S\) erreicht das Objekt im Umkehrpunkt seine maximale Höhe \(y_{max}\). Im Umkehrpunkt ist seine Geschwindigkeit null.
  • Dann fällt das Wurfobjekt gleichmäßig beschleunigt nach unten, bis es nach der Gesamtzeit \(t_{max}\) bzw. \(t_{ges}\) am Boden auftrifft.

Formeln:
  • Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit:
    \(v(t) = v_0 - g \ t\)
  • Höhe in Abhängigkeit der Zeit:
    \(y(t) = y_0 + v_0 \ t - \dfrac 12 \ g \ t^2\)
Diagramme:
Beispiel
Ein Ball wird vom Boden aus senkrecht nach oben geworfen und erreicht nach \(10,0\ s\) wieder die Abwurfstelle. Berechne die Steigzeit \(t_S\), die Abwurfgeschwindigkeit \(v_0\) und die maximale Höhe \(y_{max}\).
Gesamtenergie beim senkrechten Wurf

Befindet sich das Wurfobjekt in der Höher \(y(t)\) und hat die momentane Geschwindigkeit \(v(t)\), so gilt für die Gesamtenergie (ohne Reibung):
\(E=m\ g\ y(t) + \dfrac 12 m\ v(t)^2\)

Formel angewendet in den speziellen Punkten:
Abwurf:
\(E=m\ g\ y_0 + \dfrac 12 m\ v_0^2\)
Umkehrpunkt:
\(E=m\ g\ y_{max}\)
Aufprall:
\(E=\dfrac 12 m\ v_{max}^2\)

mit
\(y_0\)  Anfangs-/Abwurfhöhe
\(y_{max}\)  maximale Höhe / Umkehrpunkt
\(v_0\)  Anfangs-/Abwurfgeschwindigkeit
\(v_{max}\)  End-/Aufprallgeschwindigkeit
\(m\)  Masse
\(g\)  Erdbeschleunigung
Beispiel
Ein Ball erreicht beim senkrechten Wurf nach oben (Abwurfgeschwindigkeit \(v_0=44\dfrac ms\)) eine maximale Flughöhe von \(120\ m\).
Berechne...
  • die Abwurfhöhe \(y_0\),
  • die Endgeschwindigkeit \(v_{max}\),
  • die Geschwindigkeit in \(60\ m\) Höhe.
Waagerechter Wurf

Die Bewegung lässt sich in x- und y-Richtung aufteilen:

x-Richtung:
  • \(x(t) = v_0 \ t\)
  • \(v_x(t) = v_0\)
  • \(a_x = 0\)

y-Richtung:
  • \(y(t) = y_0 - \dfrac 12 g \ t^2\)
  • \(v_y(t) = - g \ t\)
  • \(a_y = - g\)

Dabei sind
  • \(x(t)\) bzw. \(y(t)\) die Zeit-Ort-Funktionen,
  • \(v_x(t)\) bzw. \(v_y(t)\) die Zeit-Geschwindigkeit-Funktionen,
  • \(a_x\) bzw. \(a_y\) die Beschleunigungen,
  • \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit (waagerecht),
  • \(y_0\) die Anfangshöhe (senkrecht),
  • \(g \) die Erdbeschleunigung.

Wurfdauer:
\(t_{ges} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot y_0}{g}}\)

Wurfweite:
\(x_{max} = v_0 \cdot t_{ges}\)

Bahnkurve:
\(y(x) = -\dfrac 12 \ \dfrac{g}{{v_0}^2} \ x^2 + y_0\)
Beispiel 1
Ein Ball wird von einem \(80,0\ m\) hohen Turm mit der Anfangsgeschwindigkeit \(25,0\dfrac ms\) waagerecht abgeworfen. Berechne seinen Ort und seine Geschwindigkeit in x- und y-Richtung nach einer Sekunde.
Beispiel 2
Ein Ball wird aus einem Hochhaus horizontal mit \(25,0\dfrac ms\) abgeworfen und trifft \(80,0\ m\) vom Haus entfernt auf den Boden. Berechne die Wurfdauer und die Anfangshöhe.
Schräger Wurf ohne Reibung

Ein Wurfobjekt wird mit dem Abwurfwinkel \(\alpha\) aus der Abwurfhöhe \(y_0\) mit dem Geschwindigkeitsbetrag \(v_0\) abgeworfen. Nach der Steigzeit \(t_S\) erreicht es die maximale Höhe \(y_{max}\) und landet nach \(t_{ges}\) (Wurfdauer) \(x_{max}\) vom Abwurfort entfernt.

  • Vektor der Abwurfgeschwindigkeit:
    \(\vec{v_0}=\begin{pmatrix}v_{0x}\\v_{0y}\end{pmatrix}\) mit Betrag \(v_0\) und
    • \(v_{0x} = v_0 \cdot cos(\alpha)\)
    • \(v_{0y} = v_0 \cdot sin(\alpha)\)
  • Ortsvektor:
    \(\vec{s}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}\) mit
    • \(x(t) = v_{0x} \ t\)
    • \(y(t) = y_0 + v_{0y} \ t - \dfrac 12 g \ t^2\)
  • Geschwindigkeitsvektor:
    \(\vec{v}(t)=\begin{pmatrix}v_x(t)\\v_y(t)\end{pmatrix}\) mit
    • \(v_x(t) = v_{0x}\)
    • \(v_y(t) = v_{0y} - g \ t\)

Wurfdauer:
\(t_{ges} = \dfrac{v_{0y} + \sqrt{v_{0y}^2 + 2g\ y_0}}{g}\)

Wurfweite:
\(x_{max} = v_{0x} \cdot t_{ges}\)

Geschwindigkeitsbetrag:
\(v(t) = \sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2}\)

Beispiel
Ein Ball wird aus \(3,0\ m\) Höhe unter einem Abwurfwinkel von \(30^\circ\) abgeworfen. Der Betrag der Anfangsgeschwindigkeit ist \(v_0=20\dfrac ms\).
Berechne...
  • den Ort \((x(0,5\ s)|y(0,5\ s))\),
  • die Steigzeit \(t_S\),
  • die maximale Höhe \(y_{max}\),
  • die Wurfdauer \(t_{ges}\),
  • die Wurfweite \(x_{max}\),
  • den Geschwindigkeitsbetrag \(v(0,5\ s)\).