Mechanik - Wurfbewegungen, Physikübungen

Senkrechter Wurf nach oben, waagrechter Wurf, schräger Wurf - Gesamtaufgabenbestand (lehrplanunabhängig)

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Die Abwurfhöhe y0 ist nicht exakt bekannt.
  • Schräger Wurf ohne Reibung

    Ein Wurfobjekt wird mit dem Abwurfwinkel \(\alpha\) aus der Abwurfhöhe \(y_0\) mit dem Geschwindigkeitsbetrag \(v_0\) abgeworfen. Nach der Steigzeit \(t_S\) erreicht es die maximale Höhe \(y_{max}\) und landet nach \(t_{ges}\) (Wurfdauer) \(x_{max}\) vom Abwurfort entfernt.

    • Vektor der Abwurfgeschwindigkeit:
      \(\vec{v_0}=\begin{pmatrix}v_{0x}\\v_{0y}\end{pmatrix}\) mit Betrag \(v_0\) und
      • \(v_{0x} = v_0 \cdot cos(\alpha)\)
      • \(v_{0y} = v_0 \cdot sin(\alpha)\)
    • Ortsvektor:
      \(\vec{s}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}\) mit
      • \(x(t) = v_{0x} \ t\)
      • \(y(t) = y_0 + v_{0y} \ t - \dfrac 12 g \ t^2\)
    • Geschwindigkeitsvektor:
      \(\vec{v}(t)=\begin{pmatrix}v_x(t)\\v_y(t)\end{pmatrix}\) mit
      • \(v_x(t) = v_{0x}\)
      • \(v_y(t) = v_{0y} - g \ t\)

    Wurfdauer:
    \(t_{ges} = \dfrac{v_{0y} + \sqrt{v_{0y}^2 + 2g\ y_0}}{g}\)

    Wurfweite:
    \(x_{max} = v_{0x} \cdot t_{ges}\)

    Geschwindigkeitsbetrag:
    \(v(t) = \sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2}\)

Kreuze alle richtigen Aussagen an.
Achtung: Auf diesem Level sollten möglichst ALLE Aufgaben gelöst werden!

  • Ein Leichtathlet wirft auf ebenem Boden den Ball etwa aus Schulterhöhe unter einem Winkel von 
    45°
     ab. Der Betrag der Anfangsgeschwindigkeit ist 
    8
     
    m
    s
    .
    Steig- und Fallzeit sind gleich lang.
    Steig- und Fallzeit sind ungleich lang.

    Aus den Angaben kann man…
    den waagerechten und senkrechten Anteil der Anfangsgeschwindigkeit berechnen.
    die maximale Höhe 
    y
    max
     der Flugbahn berechnen.
    die gesamte Flugdauer 
    t
    ges
     berechnen.
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keine Berechtigung
Senkrechter Wurf

Das Wurfobjekt wird aus einer Anfangshöhe \(y_0\) mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) senkrecht nach oben geworfen.
  • Das Wurfobjekt wird auf seinem Weg nach oben aufgrund der Erdbeschleunigung \(g\), die nach unten wirkt, abgebremst.
  • Nach der Steigzeit \(t_S\) erreicht das Objekt im Umkehrpunkt seine maximale Höhe \(y_{max}\). Im Umkehrpunkt ist seine Geschwindigkeit null.
  • Dann fällt das Wurfobjekt gleichmäßig beschleunigt nach unten, bis es nach der Gesamtzeit \(t_{max}\) bzw. \(t_{ges}\) am Boden auftrifft.

Formeln:
  • Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit:
    \(v(t) = v_0 - g \ t\)
  • Höhe in Abhängigkeit der Zeit:
    \(y(t) = y_0 + v_0 \ t - \dfrac 12 \ g \ t^2\)
Diagramme:
Beispiel
Ein Ball wird vom Boden aus senkrecht nach oben geworfen und erreicht nach \(10,0\ s\) wieder die Abwurfstelle. Berechne die Steigzeit \(t_S\), die Abwurfgeschwindigkeit \(v_0\) und die maximale Höhe \(y_{max}\).
Gesamtenergie beim senkrechten Wurf

Befindet sich das Wurfobjekt in der Höher \(y(t)\) und hat die momentane Geschwindigkeit \(v(t)\), so gilt für die Gesamtenergie (ohne Reibung):
\(E=m\ g\ y(t) + \dfrac 12 m\ v(t)^2\)

Formel angewendet in den speziellen Punkten:
Abwurf:
\(E=m\ g\ y_0 + \dfrac 12 m\ v_0^2\)
Umkehrpunkt:
\(E=m\ g\ y_{max}\)
Aufprall:
\(E=\dfrac 12 m\ v_{max}^2\)

mit
\(y_0\)  Anfangs-/Abwurfhöhe
\(y_{max}\)  maximale Höhe / Umkehrpunkt
\(v_0\)  Anfangs-/Abwurfgeschwindigkeit
\(v_{max}\)  End-/Aufprallgeschwindigkeit
\(m\)  Masse
\(g\)  Erdbeschleunigung
Beispiel
Ein Ball erreicht beim senkrechten Wurf nach oben (Abwurfgeschwindigkeit \(v_0=44\dfrac ms\)) eine maximale Flughöhe von \(120\ m\).
Berechne...
  • die Abwurfhöhe \(y_0\),
  • die Endgeschwindigkeit \(v_{max}\),
  • die Geschwindigkeit in \(60\ m\) Höhe.
Waagerechter Wurf − Formeln

Die Bewegung lässt sich in x- und y-Richtung aufteilen:

x-Richtung:
  • \(x(t) = v_0 \ t\)
  • \(v_x(t) = v_0\)
  • \(a_x = 0\)

y-Richtung:
  • \(y(t) = y_0 - \dfrac 12 g \ t^2\)
  • \(v_y(t) = - g \ t\)
  • \(a_y = - g\)

Dabei sind
  • \(x(t)\) bzw. \(y(t)\) die Zeit-Ort-Funktionen,
  • \(v_x(t)\) bzw. \(v_y(t)\) die Zeit-Geschwindigkeit-Funktionen,
  • \(a_x\) bzw. \(a_y\) die Beschleunigungen,
  • \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit (waagerecht),
  • \(y_0\) die Anfangshöhe (senkrecht),
  • \(g \) die Erdbeschleunigung.

Wurfdauer:
\(t_{ges} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot y_0}{g}}\)

Wurfweite:
\(x_{max} = v_0 \cdot t_{ges}\)

Bahnkurve:
\(y(x) = -\dfrac 12 \ \dfrac{g}{{v_0}^2} \ x^2 + y_0\)
Beispiel 1
Ein Ball wird von einem \(80,0\ m\) hohen Turm mit der Anfangsgeschwindigkeit \(25,0\dfrac ms\) waagerecht abgeworfen. Berechne seinen Ort und seine Geschwindigkeit in x- und y-Richtung nach einer Sekunde.
Beispiel 2
Ein Ball wird aus einem Hochhaus horizontal mit \(25,0\dfrac ms\) abgeworfen und trifft \(80,0\ m\) vom Haus entfernt auf den Boden. Berechne die Wurfdauer und die Anfangshöhe.
Schräger Wurf ohne Reibung

Ein Wurfobjekt wird mit dem Abwurfwinkel \(\alpha\) aus der Abwurfhöhe \(y_0\) mit dem Geschwindigkeitsbetrag \(v_0\) abgeworfen. Nach der Steigzeit \(t_S\) erreicht es die maximale Höhe \(y_{max}\) und landet nach \(t_{ges}\) (Wurfdauer) \(x_{max}\) vom Abwurfort entfernt.

  • Vektor der Abwurfgeschwindigkeit:
    \(\vec{v_0}=\begin{pmatrix}v_{0x}\\v_{0y}\end{pmatrix}\) mit Betrag \(v_0\) und
    • \(v_{0x} = v_0 \cdot cos(\alpha)\)
    • \(v_{0y} = v_0 \cdot sin(\alpha)\)
  • Ortsvektor:
    \(\vec{s}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}\) mit
    • \(x(t) = v_{0x} \ t\)
    • \(y(t) = y_0 + v_{0y} \ t - \dfrac 12 g \ t^2\)
  • Geschwindigkeitsvektor:
    \(\vec{v}(t)=\begin{pmatrix}v_x(t)\\v_y(t)\end{pmatrix}\) mit
    • \(v_x(t) = v_{0x}\)
    • \(v_y(t) = v_{0y} - g \ t\)

Wurfdauer:
\(t_{ges} = \dfrac{v_{0y} + \sqrt{v_{0y}^2 + 2g\ y_0}}{g}\)

Wurfweite:
\(x_{max} = v_{0x} \cdot t_{ges}\)

Geschwindigkeitsbetrag:
\(v(t) = \sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2}\)

Beispiel
Ein Ball wird aus \(3,0\ m\) Höhe unter einem Abwurfwinkel von \(30^\circ\) abgeworfen. Der Betrag der Anfangsgeschwindigkeit ist \(v_0=20\dfrac ms\).
Berechne...
  • den Ort \((x(0,5\ s)|y(0,5\ s))\),
  • die Steigzeit \(t_S\),
  • die maximale Höhe \(y_{max}\),
  • die Wurfdauer \(t_{ges}\),
  • die Wurfweite \(x_{max}\),
  • den Geschwindigkeitsbetrag \(v(0,5\ s)\).