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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Die Öffnung eines Kreisabschnitts wird durch den zugehörigen Mittelpunktswinkel eindeutig beschrieben, wohingegen die zugehörige Bogenlänge des Kreisabschnitts vom Radius des Kreises abhängt (siehe Bilder im Beispiel). Benutzt man aber den so genannten Einheitskreis, also den Kreis mit Radius 1, so könnte man den Kreisabschnitt sowohl durch den Winkel, als auch durch die zugehörige Bogenlänge eindeutig definieren. Genau das entspricht der Angabe von Winkeln im Grad- bzw. Bogenmaß. Es gilt:
    • Der Vollwinkel in Gradmaß beträgt 360°.
    • Der Vollwinkel im Bogenmaß beträgt 2 Pi. Dies entspricht der Bogenlänge des Vollkreises (= Umfang) beim Radius 1.
    • Die Umrechnung erfolg über eine Verhältnisgleichung oder den Dreisatz Dies kannst du dir im Beispiel im Detail ansehen.

Rechne die Winkel in Bogen- bzw. Gradmaß um. Achte darauf, ob Bogenmaß in Einheiten von Pi angegeben werden soll oder gerundet. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 3. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • Winkel im Gradmaß
    60°
    °
    °
    10°
    Winkel im Bogenmaß
    π
    4
    5
     
    π
    3
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Die Öffnung eines Kreisabschnitts wird durch den zugehörigen Mittelpunktswinkel eindeutig beschrieben, wohingegen die zugehörige Bogenlänge des Kreisabschnitts vom Radius des Kreises abhängt (siehe Bilder im Beispiel). Benutzt man aber den so genannten Einheitskreis, also den Kreis mit Radius 1, so könnte man den Kreisabschnitt sowohl durch den Winkel, als auch durch die zugehörige Bogenlänge eindeutig definieren. Genau das entspricht der Angabe von Winkeln im Grad- bzw. Bogenmaß. Es gilt:
  • Der Vollwinkel in Gradmaß beträgt 360°.
  • Der Vollwinkel im Bogenmaß beträgt 2 Pi. Dies entspricht der Bogenlänge des Vollkreises (= Umfang) beim Radius 1.
  • Die Umrechnung erfolg über eine Verhältnisgleichung oder den Dreisatz Dies kannst du dir im Beispiel im Detail ansehen.
Beispiel
Rechne die Winkel von Gradmaß zu Bogenmaß um und umgekehrt.
Winkel im Gradmaß
90°
°
°
45°
Winkel im Bogenmaß
π
π
1,5π
Eine Kreisbewegung wird durch folgende Grundgrößen beschrieben:
  • Die Umlaufdauer ist die Zeit für eine volle Umdrehung. Sie wird mit dem Formelbuchstaben T abgekürzt.
  • Die Frequenz beschreibt die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde. Sie wird mit dem Formelbuchstaben f abgekürzt und in Hertz gemessen: 1 Hertz = 1 Hz = 1 1/s
  • Es gilt: f = 1/T. Begründung: für eine einzige Umdrehung wird die Zeit T benötigt.
  • Die Bahngeschwindigkeit v beschreibt den pro Zeit zurückgelegten Weg. Die Bahngeschwindigkeit hängt vom Radius der Kreisbahn ab, da der zurückgelegte Weg mit dem Umfang des Kreises (2π r) berechnet wird.
  • Aus der Formel v = s/t wird, wenn Weg und Zeit für eine einzige volle Umdrehung eingesetzt werden, v = (2π r) / T
  • Die Winkelgeschwindigkeit beschreibt den pro Zeit überstrichenen Winkel. Die Winkelgeschwindigkeit hängt NICHT vom Radius ab, sondern beschreibt die Drehgeschwindigkeit. Sie wird mit einem kleinen "omega" (ω) abgekürzt und in 1/s gemessen (nicht Hertz!). Die Bedeutung hier ist "Radianten pro Sekunde". Anschaulicher ist die Winkelgeschwindigkeit in "Grad pro Sekunde", sie wird aber üblicherweise in Bogenmaß angegeben (siehe Beispiel!)
  • Als Formel ergibt sich für die Winkelgeschwindigkeit: ω = φ / t bzw. wenn man Winkel und Zeit für eine einzige volle Umdrehung einsetzt: ω = (2·π) / T
  • Die Bahngeschwindigkeit v und Winkelgeschwindigkeit ω hängen über den Radius zusammen. Es gilt: v = ω· r.
Beispiel
Bestimme die Grundgrößen der Kreisbewegung für ein Karussell, dessen Wagen 3 m Abstand von der Drehachse haben und welches in einer Minute 4 volle Umdrehungen schafft.
  • Die Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung. Auch wenn der BETRAG (die Größe) der Bahngeschwindigkeit konstant ist, muss permanent die RICHTUNG der Geschwindigkeit geändert werden, um einen Körper auf eine Kreisbahn zu zwingen (oder ihn auf der Kreisbahn zu halten). Es findet also permanent eine ÄNDERUNG des Geschwindigkeitsvektors statt, was als Beschleunigung bezeichnet wird.
  • Um eine beschleunigte Bewegung zu realisieren ist immer eine Kraft nötig (Newton's Gesetze!). Bei der Kreisbewegung ist diese Kraft dafür da, den Körper auf die Kreisbahn zu zwingen. Dazu muss die Kraft immer zum Kreismittelpunkt gerichtet sein. Hört die Kraft auf, zu wirken, fliegt der Körper geradlinig gleichförmig aus der Kreisbahn heraus (tangential).
  • Die Kraft, die einen Körper auf einer Kreisbahn hält heißt ZENTRIPETALKRAFT. Sie ist immer zum Kreismittelpunkt gerichtet. Verschiedenen Kräfte können als Zentripetalkraft wirken, um einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten.
  • Die Zentripetalkraft hängt von der Masse, der Drehgeschwindigkeit und dem Abstand zur Drehachse (Radius) ab. Die Formel zur Berechnung der Zentripetalkraft lautet: FZ=m·ω2·r bzw. wegen v=ω·r gilt auch: FZ=m·v2/r
Beispiel
Welche Kraft hält ein Auto auf der (Kreis-)Bahn, wenn es um die Kurve fährt?
Was passiert, wenn die Kraft nicht mehr wirkt?