08.5.1 Ableitung - Anwendungen - Tangentenprobleme, Verfahren von Newton, Matheübungen

Bestimmung der Tangente an einer vorgegebenen Stelle des Graphen; Bestimmung des Berührpunkts der Tangente, die durch einen bestimmten Punkt geht; annähernde Bestimmung von Nullstellen mit dem Verfahren von Newton - Lehrplan - 23 Aufgaben in 7 Levels

Hilfe
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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

    m = f ´ (x0)

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 4
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie bestimmt man die Steigung der Tangente an einem Punkt eines Graphen?
#480
Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

m = f ´ (x0)

Beispiel 1
f
 
x
=
x
3
+
2x
+
1
Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle 
x
=
−
1.
Beispiel 2
f
 
x
=
1
−
3x
2
+
5x
Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle 
x
=
0,6.
Beispiel 3
f
 
x
=
x
3
+
2x
+
1
Bestimme alle Tangenten an Gf, die parallel sind zu 
g: y
=
7
3
 
x
−
2.
Beispiel 4
Gegeben ist die Funktion f
 
x
=
2
x
 
x ≠ 0
 
.
Bestimme den Punkt Q des Graphen Gf, dessen Tangente durch
 
P
 
0
 
|
 
4
3
 
geht.
Wie funktioniert das Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung?
#479
Mit dem Verfahren von Newton kann, wenn es klappt, die Nullstelle einer Funktion näherungsweise bestimmt werden. Man startet mit einem groben Näherungswert x0 und berechnet dann der Reihe nach immer bessere Näherungswerte x1, x2 usw. nach folgendem Rezept:

x1 = x0 − f (x0) / f ´(x0)

x2 = x1 − f (x1) / f ´(x1)

usw.

Wie lauten die Ableitungen der Funktionen sin(x) und cos(x)?
#441
f (x) = sin(x) ⇒ f ´ (x) = cos(x)
f (x) = cos(x) ⇒ f ´ (x) = -sin(x)
Beispiel
f
 
x
=
−
2
 
sin
x
Bei welchen 
x ∈ [0; 2π[
 ist die Tangente des Graphen 
G
f
 parallel zur Gerade durch die Punkte (0|−1) und (1|-3)