1.1 gebrochen-rationale Funktionen: Pole und Nullstellen ohne hebbare Lücken, Matheübungen

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  • f
     
    x
    =
    3x
    −
    2
    x
    2
    −
    1
    x
    =
    −
    1 ist eine
     
    x
    =
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    ist eine
     
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Was muss bei der Definitionsmenge gebrochen-rationaler Funktionen beachtet werden?
#271
Bei gebrochen-rationalen Funktionen sind die x-Werte auszuschließen ("Definitionslücken"), die zum Wert 0 im Nenner führen.
Wie lautet die korrekte Schreibweise für eine Definitionsmenge, die alle rationalen Zahlen außer bestimmten Werten enthält?
#272
Angenommen, die Definitionsmenge enthalte alle rationalen Zahlen außer 1 und -2. Korrekte Schreibweisen wären dann z.B.:
  • D = Q\{1;-2}
  • x ∉ {1;2} (wobei klar sein muss, dass Q die Grundmenge ist)
Wie bestimmt man die Definitionsmenge und Nullstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen?
#1091
Beachte bei gebrochen-rationalen Funktionen: Die Nullstellen des Nenners sind die Definitionslücken. Die Nullstellen des Zählers sind, sofern definiert, die Nullstellen der Funktion.
Was sind Polstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen und wie verhält sich der Graph in ihrer Umgebung?
#323
Polstellen sind spezielle Definitionslücken. In der Umgebung einer Polstelle
  • wächst der Funktionswert betragsmäßig ins Unendliche
  • schmiegt sich der Graph folglich an eine senkrechte Asymptote an
Je nachdem, ob der Funktionswert sich links/rechts von der Polstelle gegen +∞ oder −∞ entwickelt, handelt es sich um eine Polstelle
  • mit Vorzeichenwechsel (+/− oder −/+) oder
  • ohne Vorzeichenwechsel(+/+ oder −/−).
Beispiel
Lies aus dem Graphen evtl. auftretende Null- und Polstellen ab und charakterisiere diese näher.
graphik