1.1 Grenzwerte von Funktionen, Matheübungen

Spezielle Eigenschaften von Funktionen. - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-11. Klasse)

Hilfe
  • Wenn f(x) für x → ∞ gegen c konvergiert, so bedeutet dies, dass |f(x) − c| kleiner als jede noch so winzige positive Zahl ε ist - wenn x nur groß genug gewählt wird.

    Wie groß x dafür sein muss, ermittelt man mit Hilfe der Ungleichung

    |f(x) − c| < ε

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Wie groß muss x sein, damit sich f(x) von seinem Grenzwert für x → ∞ um weniger als 0,001 unterscheidet?

  • f(x)
    =
    3
    +
    1
    x
    −
    3
    Für 
    x
     
    >
     
     befindet sich 
    G
    f
     im Inneren des entsprechenden Streifens.
    Skizze:
    graphik
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
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keine Berechtigung
Welche drei Möglichkeiten gibt es für das Verhalten einer Funktion im Unendlichen?
#519

Der Limes von f(x) für x → ∞ bzw. x → -∞ gibt an, wie sich die Funktion am äußeren rechten/linken Rand des Definitionsbereichs, also für "sehr, sehr große/kleine" x-Werte verhält:

Fall Der Funktionswert Der Graph Limes
Konvergenz ...nähert sich einem Wert c an, d.h. |f(x) − c| wird beliebig klein ...besitzt die waagrechte Asymptote y = c = c
bestimmte Divergenz ...wird beliebig groß bzw. beliebig klein, d.h. er überschreitet/unterschreitet jede noch so große/kleine Marke ...steigt/fällt immer weiter nach oben/unten (nicht zwangsläufig monoton) = ± ∞
unbestimmte Divergenz weder die erste noch die zweite Zeile treffen zu existiert nicht
Beispiel
Bestimme aufgrund der Abbildung:
lim
x
 
→
 
∞
 
f(x)
 
        
 
lim
x
 
→
 
−
∞
 
f(x)
 
        
 
lim
x
 
→
 
∞
 
g(x)
graphik

Ist der Funktionsterm f(x) gegeben, lässt sich der Limes von f(x) für x → ∞ bzw. x → -∞ auf verschiedene Arten ermitteln; am Beispiel f(x) = 1/x:

  • indem man den Graphen skizziert; hier ergibt sich die bekannte Hyperbel mit der x-Achse als waagrechte Asymptote, also geht 1/x gegen 0.
  • durch Überlegung, hier die Überlegung "ein Bruch mit festem Zähler wird (vom Betrag her) beliebig klein, wenn der Nenner nur groß genug ist".
  • mit Hilfe einer Wertetabelle, z.B. setzt man hier in den Term 1/x der Reihe nach die x-Werte 10; 100; 1000; 10 000 (stellvertretend für x → ∞) ein und stellt fest, dass sich die entsprechenden y-Werte 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 immer weniger von 0 unterscheiden.
Wenn f(x) für x → ∞ gegen c konvergiert, so bedeutet dies, dass |f(x) − c| kleiner als jede noch so winzige positive Zahl ε ist - wenn x nur groß genug gewählt wird.

Wie groß x dafür sein muss, ermittelt man mit Hilfe der Ungleichung

|f(x) − c| < ε

Beispiel
f(x)
=
2
x
+
1
−
4
Ermittle den Grenzwert c für 
x
 
→
 
∞
 und ermittle das maximale Intervall ]?;∞[, in dem sich f(x) und c um weniger als 0,05 unterscheiden.