1.2 Laplace-Wahrscheinlichkeit - Summenregel, Mathe-Übungen

Wahrscheinlichkeiten - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-9. Klasse)

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  • Von einem Laplace-Experiment spricht man, wenn alle Elementarereignisse (also Ergebnisse) gleich wahrscheinlich sind. Es hängt letztlich von der gewählten Ergebnismenge ab, ob man von einem Laplace-Experiment sprechen kann oder nicht.

    Liegt ein solches vor und ist n die Mächtigkeit der Ergebnismenge (also die Anzahl aller Ergebnisse), so hat jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit 1/n.

Liegt ein Laplace-Experiment vor?

  • Per Zufallsgenerator wird ein Datum im Jahr 2008 bestimmt. Bei welchen zwei Ergebnismengen kann man von einem Laplace-Experiment sprechen?
    {Jan;Feb;...;Dez}
    Menge der Zahlenpaare, bei denen die erste Zahl den Tag und die zweite Zahl den Monat angibt wie z.B. (2;11) für 2. November
    Menge der Zahlen, bei denen die letzen beiden Ziffern den Tag und die vordere(n) Ziffer(n) den Monat angeben wie z.B. 1102 für 2. November
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Unterscheide bei einem Zufallsexperiment zwischen
  • Ergebnis: z.B. die Augenzahlen 1, 2, ...6 beim Würfeln
  • Ereignis: eine bestimmte Auswahl von Ergebnissen, also z.B. "ungerade Augenzahl"

Bei einem Zufallsexperiment schaut man auf bestimmte Ergebnisse. Yasmin wettet z.B. mit ihrer Freundin um 50 €, dass Sie beim nächsten Wurf mit dem Würfel eine gerade Zahl erhält.

In der Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung setzt Yasmin auf das Ereignis "gerade Zahl". Dieses Ereignis tritt ein, wenn Sie z.B. eine 4 würfelt. Die Augenzahl 4 nennt man dann ein (für das Ereignis) günstiges Ergebnis. Alle anderen Augenzahlen nennt man ungünstig.

Bei einem Laplace-Experiment kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E nach folgender Formel bestimmen:

Anzahl der Ergebnisse in E : Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Bei vielen Zufallsexperimenten haben wir eine konkrete Erwartung, wie oft ein bestimmtes Ergebnis eintreten wird, wenn wir das Experiment mehrmals durchführen. Dieser Anteil wird durch die Wahrscheinlichkeit für das betrachtete Ergebnis ausgedrückt.
Beispiel
Wahrscheinlichkeit für "Augensumme 2" beim Würfeln?

Von einem Laplace-Experiment spricht man, wenn alle Elementarereignisse (also Ergebnisse) gleich wahrscheinlich sind. Es hängt letztlich von der gewählten Ergebnismenge ab, ob man von einem Laplace-Experiment sprechen kann oder nicht.

Liegt ein solches vor und ist n die Mächtigkeit der Ergebnismenge (also die Anzahl aller Ergebnisse), so hat jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit 1/n.

Oft lässt sich die gefragte Wahrscheinlichkeit bestimmen, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert (Summenregel).

Jedes Ergebnis ω der Ergebnismenge Ω kann als Ereignis {ω} (sogenanntes Elementarereignis) mit der Wahrscheinlichkeit P({ω}) aufgefasst werden.

Die Wahrscheinlichkeiten von allen Elemetarereignissen ergeben addiert immer 1 (=100%).