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1.2 Symmetrie von Funktionsgraphen, Matheübungen
Spezielle Eigenschaften von Funktionen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)
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Achsensymmetrie zur y-Achse:
Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
f(x) = f(-x)
Punktsymmetrie zum Ursprung:
Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
-f(x) = f(-x)
Spezialfall: ganzrationale Funktionen
f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
Also gilt:
Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
-f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
Also gilt:
Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
Hinweis:
Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.
Untersuche, ob der Graph der Funktion symmetrisch zur y-Achse oder symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems (KOSY) ist.
f
x
=
2
x
−
3
+
1
Der Graph
ist symmetrisch zur y-Achse.
ist symmetrisch zum Ursprung.
ist weder symmetrisch zur y-Achse noch zum Ursprung.
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Stoff zum Thema
Wie erkennt man Achsen- und Punktsymmetrie bei Funktionen, insbesondere bei ganzrationalen Funktionen?
#758
Achsensymmetrie zur y-Achse:
Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
f(x) = f(-x)
Punktsymmetrie zum Ursprung:
Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
-f(x) = f(-x)
Spezialfall: ganzrationale Funktionen
f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
Also gilt:
Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
-f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
Also gilt:
Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
Hinweis:
Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.
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