1.3.2.2 Ganzrationale Funktionen, Nullstellenermittlung und Faktorisierung durch Polynomdivision und Substitution, letztes Level gemischt, Matheübungen

- Lehrplan (im Aufbau)

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  • Das Verfahren der Polynomdivision kann helfen, die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades (oder höher) zu bestimmen. Dabei wird die Funktion in ein Produkt aus einem Linearfaktor und einem quadratischen Term umgeschrieben.

    Vorgehen:

    Gesucht sind die Nullstellen der Funktion f mit f(x)=ax³+bx²+cx+d.
    Also muss die Gleichung ax³+bx²+cx+d=0 gelöst werden.

    1. Erraten einer Nullstelle x0
      Falls keine Nullstelle bekannt ist, muss man eine Nullstelle erraten. Dazu setzt man testweise ein paar kleine ganze Zahlen wie 0, 1, 2, -1, ... für x in die Funktion ein. Ist das Ergebnis Null, so hat man eine Nullstelle gefunden.

    2. Polynomdivision
      Der Funktionsterm wird durch den Linearfaktor (x−x0) (also "x minus erste Nullstelle") geteilt. Das Ergebnis der Polynomdivision ist ein quadratischer Term q(x). Der ursprüngliche Funktionsterm kann also jetzt als Produkt geschrieben werden:
      f(x)=q(x)·(x−x0)

    3. Lösen der quadratischen Gleichung
      Aus der Gleichung q(x)=0 gewinnt man mit Hilfe der Mitternachtsformel evtl. bis zu zwei weitere Nullstellen für f(x).
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme die Nullstellen der Funktion durch Polynomdivision. Trage "!" in übrig bleibende Felder ein.

  • f(x)
    =
    x
    3
    +
    7x
    2
    +
    2x
    −
    40
    Nullstellen:
    x
    1
    =
    x
    2
    =
    x
    3
    =
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Wie kann man Polynome vom Grad 3 oder höher faktorisieren?
#321
Polynome (d.h. ganzrationale Terme) vom Grad 3 oder höher lassen sich evtl. faktorisieren (also in ein Produkt aus mehreren Faktoren zerlegen), indem man
  • eine Nullstelle a errät und dann mittels Polynomdivision durch (x − a) teilt.
  • x oder eine höhere Potenz von x (z.B. x³) ausklammert. Das ist aber nur sinnvoll, wenn das Polynom keine additive Konstante aufweist, wie z.B. bei x³ - 4x² + 3x.
  • eine binomische Formel anwendet.
Ein quadratischer Faktor kann mit Hilfe der Mitternachtsformel evtl. weiter zerlegt werden. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen und zerfällt damit in höchstens n lineare Faktoren.
Wie funktioniert Polynomdivision und welchen Grad hat das Ergebnispolynom?
#318
Polynomdivision funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division, die du bereits aus der Grundschule kennst. Wenn man ein Polynom vom Grad n durch ein Polynom vom Grad m<n teilt, ist das Ergebnis ein Polynom vom Grad n−m.
Beispiel
1
2
 
x
3
−
4
:
x
−
2
=
?
Wie bestimmt man die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades oder höher mittels Polynomdivision?
#743

Das Verfahren der Polynomdivision kann helfen, die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades (oder höher) zu bestimmen. Dabei wird die Funktion in ein Produkt aus einem Linearfaktor und einem quadratischen Term umgeschrieben.

Vorgehen:

Gesucht sind die Nullstellen der Funktion f mit f(x)=ax³+bx²+cx+d.
Also muss die Gleichung ax³+bx²+cx+d=0 gelöst werden.

  1. Erraten einer Nullstelle x0
    Falls keine Nullstelle bekannt ist, muss man eine Nullstelle erraten. Dazu setzt man testweise ein paar kleine ganze Zahlen wie 0, 1, 2, -1, ... für x in die Funktion ein. Ist das Ergebnis Null, so hat man eine Nullstelle gefunden.

  2. Polynomdivision
    Der Funktionsterm wird durch den Linearfaktor (x−x0) (also "x minus erste Nullstelle") geteilt. Das Ergebnis der Polynomdivision ist ein quadratischer Term q(x). Der ursprüngliche Funktionsterm kann also jetzt als Produkt geschrieben werden:
    f(x)=q(x)·(x−x0)

  3. Lösen der quadratischen Gleichung
    Aus der Gleichung q(x)=0 gewinnt man mit Hilfe der Mitternachtsformel evtl. bis zu zwei weitere Nullstellen für f(x).
Beispiel
Die Funktion f mit
f(x)
=
x
3
−
x
2
−
8x
+
12
hat die Nullstelle x0 = 2. Bestimme die weitere(n) Nullstelle(n).
Wie funktioniert die Substitutionsmethode in der Mathematik?
#486
Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (Re- / Rücksubstitution).
Beispiel
Löse die Gleichung.
x
4
−
6x
2
+
8
=
0