1.5 Symmetrie von Graphen, Matheübungen

Funktionen und ihre Graphen - Lehrwerk Lambacher Schweizer

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    • Achsensymmetrie zur y-Achse:
      • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
      f(x) = f(-x)

    • Punktsymmetrie zum Ursprung:
      • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
      -f(x) = f(-x)

    • Spezialfall: ganzrationale Funktionen

      • f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
      Also gilt:
      Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

      -f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
      Also gilt:
      Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

    • Hinweis:
      • Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.

Untersuche, ob der Graph der Funktion symmetrisch zur y-Achse oder symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems (KOSY) ist.

  • f
     
    x
    =
    2x
    x
    2
    −
    3
    Der Graph
    ist symmetrisch zur y-Achse.
    ist symmetrisch zum Ursprung.
    ist weder symmetrisch zur y-Achse noch zum Ursprung.
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Wie erkennt man Achsen- und Punktsymmetrie bei Funktionen, insbesondere bei ganzrationalen Funktionen?
#758
  • Achsensymmetrie zur y-Achse:
    • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
    f(x) = f(-x)

  • Punktsymmetrie zum Ursprung:
    • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
    -f(x) = f(-x)

  • Spezialfall: ganzrationale Funktionen

    • f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
    Also gilt:
    Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

    -f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
    Also gilt:
    Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

  • Hinweis:
    • Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.
Beispiel 1
Untersuche, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
a) 
f
 
x
=
x
−
2
·
x
+
2
b) 
f
 
x
=
−
0,4x
3
+
2x
c) 
f
 
x
=
0,1x
−
0,3
·
0,5
−
2x
Beispiel 2
Untersuche, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
a) 
f
 
x
=
5x
2
x
2
+
2
b) 
f
 
x
=
5x
2
x
3
+
2x
c) 
f
 
x
=
5x
2
x
3
+
2