1.8 Volumen von Rotationskörpern, Matheübungen

Integralrechnung - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 11 Aufgaben in 3 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 2
  • Löse die Problemstellung zu einem Rotationskörper schrittweise.
    • graphik
    In der Abbildung sind der Graph 
    G
    f
     der in 
    1,5;
     
    3
     definierten Funktion f mit 
    f(x)
    =
    120
    x
    −
    40
     sowie ein Teilstück s der Gerade mit der Gleichung 
    x
    =
    1
     dargestellt. Lässt man die im Bereich 
    0
     
    ≤
     
    y
     
    ≤
     
    40
     von s und 
    G
    f
     begrenzte Fläche um die y-Achse rotieren, so erhält man das Modell eines 40 Meter hohen Schornsteins einer Industrieanlage. Ermittle dessen Masse in Tonnen (t), wenn das verwendete Baumaterial 
    2
     
    t
     pro 
    m
    3
     wiegt.
    Schritt 1 von 5
    Beschreibe den Lösungsweg für die Problemstellung durch Ergänzung der Lücken:
    Weil die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers nur bei Rotationen um die eingesetzt werden kann, muss die Situation zunächst an der gespiegelt werden. Dazu muss zu f die bestimmt werden. Nach Anwendung der Volumenformel für Rotationskörper mit den Integrationsgrenzen ist noch zu berücksichtigen, dass das Innere des Schornsteins hohl ist und daher das Volumen der Aussparung subtrahiert werden muss.
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Stoff zum Thema (+Video)
ROTATIONSKÖRPER um x-Achse – VOLUMEN berechnen mit Integral, Formel Rotationsvolumen
Lernvideo

ROTATIONSKÖRPER um x-Achse – VOLUMEN berechnen mit Integral, Formel Rotationsvolumen

Kanal: MathemaTrick
Wie entsteht ein Rotationskörper aus dem Graphen einer Funktion und wie berechnet man dessen Volumen?
#1378
Für eine stetige Funktion f, die in einem Intervall [a;b] definiert ist, kann man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse um die x-Achse rotieren lassen. Dadurch entsteht ein Rotationskörper, dessen Volumen V dem Integral über (f(x))² mit Untergrenze a und Obergrenze b, multipliziert mit π, entspricht.
Beispiel
graphik
Die Abbildung zeigt ein ungefähres Modell des Luftschiffs Hindenburg, das am 6.5.1937 bei einem tragischen Unfall in Flammen aufging. Der dargestellte Körper kann aus dem Graphen der in 
−
120;
 
120
 definierten Funktion f mit 
f
 
x
=
0,00025x
3
−
0,03x
2
−
3,6x
+
432
 gewonnen werden: Lässt man die Fläche unter 
G
f
 um die x-Achse rotieren, so ergibt sich als Rotationskörper das Modell des Luftschiffs.
Ermittle, welches Volumen der Korpus der Hindenburg hatte, wenn eine Längeneinheit im Modell einem Meter in Wirklichkeit entspricht.
Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers zwischen zwei Graphen?
#1462

Wenn zwei Graphen von Funktionen \(f\) und \(g\) im Intervall \([a;b]\) eine Fläche einschließen, ergibt sich bei Rotation um die \(x\text{-Achse}\) ein Rotationskörper.

Dessen Volumen \(V\) lässt sich wie folgt berechnen:

\[ V=\pi \int_a^b |f(x)^2-g(x)^2|\,dx \]

Beispiel

Die Graphen von \(f(x)=-x^2\) und \(g(x)=x^2-8\) schließen eine Fläche ein. Berechne das Volumen \(V\), das sich durch Rotation um die \(x\text{-Achse}\) ergibt.