1.8 Volumen von Rotationskörpern, Matheübungen

Integralrechnung - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 11 Aufgaben in 3 Levels

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    Wenn zwei Graphen von Funktionen \(f\) und \(g\) im Intervall \([a;b]\) eine Fläche einschließen, ergibt sich bei Rotation um die \(x\text{-Achse}\) ein Rotationskörper.

    Dessen Volumen \(V\) lässt sich wie folgt berechnen:

    \[ V=\pi \int_a^b |f(x)^2-g(x)^2|\,dx \]

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 3
  • Die Graphen von \(f\) und \(g\) schließen eine Fläche ein. Berechne das Volumen, das sich durch Rotation um die \(x\text{-Achse}\) ergibt. Runde auf eine ganze Zahl.
  • Zwischenschritte aktiviert

    • \(f(x) = x^2\)

    \(g(x) = 2x + 3\)

    Volumen:  ▉ 

    Schritt 1 von 2

    Bestimme die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen:

    \(x_1=\) und \(x_2=\)

    Hinweis: Gib die Werte so ein, dass \(x_1 < x_2\)
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Stoff zum Thema (+Video)
ROTATIONSKÖRPER um x-Achse – VOLUMEN berechnen mit Integral, Formel Rotationsvolumen
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ROTATIONSKÖRPER um x-Achse – VOLUMEN berechnen mit Integral, Formel Rotationsvolumen

Kanal: MathemaTrick
Wie entsteht ein Rotationskörper aus dem Graphen einer Funktion und wie berechnet man dessen Volumen?
#1378
Für eine stetige Funktion f, die in einem Intervall [a;b] definiert ist, kann man die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse um die x-Achse rotieren lassen. Dadurch entsteht ein Rotationskörper, dessen Volumen V dem Integral über (f(x))² mit Untergrenze a und Obergrenze b, multipliziert mit π, entspricht.
Beispiel
graphik
Die Abbildung zeigt ein ungefähres Modell des Luftschiffs Hindenburg, das am 6.5.1937 bei einem tragischen Unfall in Flammen aufging. Der dargestellte Körper kann aus dem Graphen der in 
−
120;
 
120
 definierten Funktion f mit 
f
 
x
=
0,00025x
3
−
0,03x
2
−
3,6x
+
432
 gewonnen werden: Lässt man die Fläche unter 
G
f
 um die x-Achse rotieren, so ergibt sich als Rotationskörper das Modell des Luftschiffs.
Ermittle, welches Volumen der Korpus der Hindenburg hatte, wenn eine Längeneinheit im Modell einem Meter in Wirklichkeit entspricht.
Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers zwischen zwei Graphen?
#1462

Wenn zwei Graphen von Funktionen \(f\) und \(g\) im Intervall \([a;b]\) eine Fläche einschließen, ergibt sich bei Rotation um die \(x\text{-Achse}\) ein Rotationskörper.

Dessen Volumen \(V\) lässt sich wie folgt berechnen:

\[ V=\pi \int_a^b |f(x)^2-g(x)^2|\,dx \]

Beispiel

Die Graphen von \(f(x)=-x^2\) und \(g(x)=x^2-8\) schließen eine Fläche ein. Berechne das Volumen \(V\), das sich durch Rotation um die \(x\text{-Achse}\) ergibt.