1. Umkehrfunktionen, Matheübungen

- Lehrplan (im Aufbau)

Zeige, dass f umkehrbar ist und bestimme die Definitionsmenge sowie den Term der Umkehrfunktion f -1.

  • f
     
    x
    =
    3
    ·
    x
    −
    2
    2
    −
    1
     , 
    x ≤ 2
    .
    f ist streng monoton und damit umkehrbar.
    D
    f
    −
    1
    =
    f
    −
    1
     
    x
    =
    −
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Wie bestimmt man den Term der Umkehrfunktion einer umkehrbaren Funktion?
#856
Ist eine Funktion umkehrbar, so erhält man den Term der Umkehrfunktion nach folgendem Rezept:
  1. Löse die Gleichung y = f(x) nach x auf.
  2. Vertausche dann x und y.
Beispiel
f
 
x
=
−
0,5x
+
1
9
.
Gib den Term der Umkehrfuktion 
f
−
1
 
x
 an.
Wie kann man feststellen, ob eine Funktion umkehrbar ist?
#855
Ist eine Funktion in einem bestimmten Intervall streng monoton zunehmend oder abnehmend, so ist sie in diesem Intervall auch umkehrbar.
Wie kann man den Graphen und die Wertemenge einer Umkehrfunktion beschreiben?
#762
Sei f eine umkehrbare Funktion und f −1 ihre Umkehrfunktion. Der Graph von f −1 ergibt sich aus dem Graphen von f, indem man bei allen Punkten die x- und y-Koordinate vertauscht. Das ist gleichbedeutend mit einer Spiegelung an der Geraden y=x (Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten). Die Definitionsmenge von f −1 ist dann (logischer Weise) gleich der Wertemenge von f.