10.2 Die Gauß'sche Glockenfunktion, Matheübungen

Normalverteilung - G8 Lehrwerk Lambacher Schweizer - 21 Aufgaben in 4 Levels

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    Eine Zufallsgröße X nennt man normalverteilt mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ, wenn ihre Dichtefunktion eine Gauß'sche Glockenfunktion φ mit den Parametern μ und σ ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte von X in einem Intervall [a; b] liegen, ist also das Integral über φ mit Untergrenze a und Obergrenze b, und kann mit dem Taschenrechner oder graphisch als Inhalt des entsprechenden Flächenstücks unter dem Graphen von φ ermittelt werden.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1
  • Entscheide, welche Aussagen zum gegebenen Graphen der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße zutreffen.
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    • graphik
    P
     
    1,3
     
    ≤
     
    X
     
    ≤
     
    1,5
     
    ≈
     
    1,40
        
     
    0,55
        
     
    0,11
        
     
    0,05
    P
     
    X
     
    ≤
     
    1
    =
     
    1,33
        
     
    0,66
        
     
    0,58
        
     
    0,50
Beispiel
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Stoff zum Thema (+Video)
Was ist eine normalverteilte Zufallsgröße X und wie bestimmt man die Wahrscheinlichkeit für Werte in einem Intervall [a; b]?
#1329
Eine Zufallsgröße X nennt man normalverteilt mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ, wenn ihre Dichtefunktion eine Gauß'sche Glockenfunktion φ mit den Parametern μ und σ ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte von X in einem Intervall [a; b] liegen, ist also das Integral über φ mit Untergrenze a und Obergrenze b, und kann mit dem Taschenrechner oder graphisch als Inhalt des entsprechenden Flächenstücks unter dem Graphen von φ ermittelt werden.
Beispiel
graphik
Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße X.
a) Ermittle 
P
 
−
2,5
 
≤
 
X
 
≤
 
0
.
b) Bestimme u so, dass gilt: 
P
 
X
 
≥
 
u
 
≈
 
0,1
.
Wie lautet der Term einer Gauß'schen Glockenfunktion und wie beeinflussen μ und σ die Lage und Form ihres Graphen?
#1307

Eine Gauß'sche Glockenfunktion besitzt den in der Abbildung dargestellten Graphen und Term:
  • Lage des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
μ gibt die x-Koordinate des Hochpunkts und die Lage der senkrechten Symmetrieachse an.
  • Form des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
Je größer σ ist, desto "breiter" wird der Graph. σ gibt an, wie weit die Wendestellen von der Extremstelle entfernt sind. Damit die Fläche unter dem Graphen den Inhalt 1 beibehält, muss er mit zunehmender Streckung in x-Richtung entlang der y-Achse gestaucht werden.
Beispiel 1

Gegeben ist die Gauß'sche Glockenfunktion \(\varphi(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-4)^2}{8}}\) mit der Integralfunktion \(\Phi(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)\,dt\text{.}\)

a) Bestimme für den Graphen von \(\varphi\) die Stelle des Hochpunkts und der Wendepunkte.

b) Gib für den Graphen von \(\Phi\) die Symmetrie und die Stelle der größten Steigung an.

Beispiel 2
Entscheide, ob der folgende Term zu einer Gauß'schen Glockenfunktion gehören kann, und ermittle gegebenenfalls passende Werte für die Parameter μ und σ:
φ
 
x
=
2
2π
·
e
−
2x
2
+
2x
−
0,5
Beispiel 3

Ermittle anhand des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion bzw. ihrer Integralfunktion die Parameter \(\mu\) und \(\sigma\text{.}\)

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Gauß'schen Glockenfunktion.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Integralfunktion einer Gauß'schen Glockenfunktion mit Untergrenze \(-\infty\text{.}\)