11.1 Integral - Berechnung mit Stammfunktion, Matheübungen

Stammfunktion von Potenz-, trigonometrischer und natürlicher Exponentialfunktion (auch zusammengesetzt), bestimmtes Integral mit Hilfe von Stammfunktion berechnen - Lehrplan - 37 Aufgaben in 7 Levels

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Bestimme zuerst die allgemeine Stammfunktion \(F(x)= ... + c \) und anschließend \(c \text{.}\)
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

    ∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C

    Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

    Spezialfall n = -1:

    ∫ 1/x dx = ln |x| + C

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 6
  • Bestimme die Stammfunktion \(F\).

    Hinweis: Brüche sind in der Form a/b und \(x\text{-Potenzen}\) in der Form x^n einzugeben.

  • Zwischen­schritte aktivieren

    • Gegeben ist die Funktion \(f(x)=4x^3+4x-1\). Der Graph der Funktion \(F\) soll durch den Punkt \(P(2|15)\) verlaufen.

    \(F(x)=\class{mathjax-input mathjax-input-0}{\mspace{3mu}\Rule{7.9em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\)

Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
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Stoff zum Thema (+Video)
Was ist eine Stammfunktion F von f und welche Beziehung besteht zwischen den Werten von f und F?
#401

Die Funktion F ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn F´ = f (wenn also f die Ableitung von F ist). Damit gilt folgender Zusammenhang

F bzw. GF f (x)
streng monoton steigend > 0 im betrachteten Intervall
streng monoton fallend < im betrachteten Intervall
keine Steigung (waagrechte Tangente) = 0
Wie berechnet man die Stammfunktion einer Potenzfunktion?
#570
Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C

Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

Spezialfall n = -1:

∫ 1/x dx = ln |x| + C

Beispiel 1
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
2
3
 
x
7
 an.
Beispiel 2
Gib eine Stammfunktion für 
f
 
x
=
3
x
7
 an.
Was sind die Stammfunktionen von exp(x), sin(x) und cos(x) und was ist bei der Integration von f(ax+b) zu beachten?
#576
  • Stammfunktionen von sin, cos und exp:

∫ sin (x) dx = − cos (x) + C

∫ cos (x) dx = sin (x) + C

∫ ex dx = ex + C

  • Beachte aufgrund der Kettenregel (a ≠ 0):

∫ f ( ax + b ) dx

= 1/a · F ( ax + b) + C

Beispiel
Gib jeweils eine Stammfunktion an.
a) 
f
 
x
=
2e
4x
+
1
a) 
f
 
x
=
sin
 
0,5x
−
π