2.1 Differentialrechnung: Differenzenquotient und Sekante, mittlere Steigung, Matheübungen

- Lehrplan (im Aufbau)

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  • Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [a; b] ergibt sich durch

    [ f(b) − f(a) ] / ( b − a)

    Aufgrund seiner Struktur nennt man diesen Term auch Differenzenquotient.
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Gegeben ist die Funktion f. Bestimme jeweils mit Hilfe des Differenzenquotienten die mittlere Änderungsrate im gegebenen Intervall. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 4. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • f(x)
    =
    3x
    2
    −
    4x
    +
    1
    Intervall [0;10]
    Mittlere Änderungsrate:
     
    Intervall [9;10]
    Mittlere Änderungsrate:
     
    Intervall: [9,9;10]
    Mittlere Änderungsrate:
     
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Wie lassen sich die mittlere und lokale Änderungsrate graphisch interpretieren?
#397
Graphisch lässt sich die mittlere Änderungsrate im Intervall [a; b] als Steigung der Geraden (Sekante) durch die entsprechenden Punkte des Graphen veranschaulichen.

Die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a ist folglich die Steigung der Geraden (Tangente), die den Graph im entsprechenden Punkt berührt. Man stelle sich zum besseren Verständnis ein winziges Intervall [a; b] und die zugehörige Sekante vor. Lässt man das Intervall weiter schrumpfen, also b gegen a gehen, wird aus der Sekante eine Tangente.

Beispiel
Schätze die mittlere Änderungsrate im angegebenen Intervall bzw. die lokale Änderungsrate an der gegebenen Stelle ab.
graphik
Intervall [-1; 5]:       
 
m
 
≈ ?
Stelle x
0
=
4:       
 
m ≈ ?
Wie berechnet man die mittlere Änderungsrate einer Funktion und welcher synonyme Begriff ist dafür gebräuchlich?
#396
Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [a; b] ergibt sich durch

[ f(b) − f(a) ] / ( b − a)

Aufgrund seiner Struktur nennt man diesen Term auch Differenzenquotient.
Beispiel
(1) Maximilian war Ende Januar 1,35 m groß und Ende Juni 1,37 m. Wie groß ist in diesem Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate?
(2) Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate der Normalparabel mit Scheitel im Ursprung im Intervall [3;7]?