2.1 Mehrstufige Zufallsexperimente - Pfadregeln, Matheübungen

Mehrstufige Zufallsexperimente - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

Hilfe
  • Beim Spiel "Kniffel" geht es darum, mit fünf Würfeln bestimmte Muster von Augenzahlen wie z.B. "große Straße" zu erzielen. Man darf maximal dreimal hintereinander würfeln. Beim ersten Mal würfelt man mit allen fünf Würfeln gleichzeitig. Der Spieler bestimmt, ob er bestimmte Würfel mit der erzielten Augenzahl liegenlässt und würfelt - falls er nicht alle liegenlässt - mit den restlichen Würfeln ein zweites Mal. Auch nach dem zweiten Wurf kann er entscheiden, welche Würfel (auch aus dem vorhergehenden Wurf) er liegenlässt, bevor er mit den restlichen ein drittes Mal würfelt. Am Ende zählen die Augenzahlen, die am Tisch liegen.
    • "Kleine/große Straße" bedeutet "vier/fünf aufeinander folgende Augenzahlen", also z.B. 2345 (klein) / 12345 (groß).
    • "Kniffel" bedeutet, dass alle Augenzahlen übereinstimmen, also z.B. 11111.

Typische Frage beim Würfelspiel "Kniffel". Runde auf ganze Prozent.

  • Erster Wurf: Augenzahlen 2, 3, 3, 4, 6.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine kleine oder große Straße zu erhalten, wenn man 2, 3 und 4 liegen lässt und mit den restlichen Würfeln weiterwürfelt?
    P ≈ %
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keine Berechtigung
Wie liest man die Zahl der möglichen Ergebnisse an einem Baumdiagramm ab?
#872
Zufallsexperimente, bei denen mehrere Wiederholungen stattfinden oder mehrmals hintereinander eine Auswahl getroffen werden kann, nennt man mehrstufige Zufallsexperimente. Diese lassen sich übersichtlich in einem Baumdiagramm darstellen, bei dem jede Stufe im Diagramm einer Auswahl entspricht. Jeder Pfad des Baumdiagramms vom Anfang bis zu einem Endpunkt beschreibt ein mögliches Ergebnis des mehrstufigen Zufallsexperiments. Zählt man alle Pfade, so kennt man die Zahl aller möglichen Ergebnisse.
Wann ist ein Baumdiagramm nützlich, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen?
#858
Setzt sich ein Zufallsexperiment aus mehreren Stufen zusammen, ist ein Baumdiagramm oft eine hilfreiche Darstellung. Wenn jeder Pfad des Baumdiagramms mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintritt, kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit der Laplace-Formel berechnen.
Beispiel
Ein Gymnasium bietet am Tag der offenen Tür für Grundschüler verschiedene Schnupperkurse an. Zunächst werden jedem Teilnehmer zwei der drei Kernfächer Mathematik, Deutsch oder Englisch zugelost. Anschließend wird jeder Teilnehmer zufällig in einen Musik- oder Kunst-Kurs eingeteilt. Miriams Lieblingsfächer sind Englisch und Kunst. Sie interessiert sich für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E: "Sie wird mindestens in einen der Englisch- oder Kunst-Kurse eingeteilt."
Zeichne ein Baumdiagramm mit allen möglichen Fällen. Bestimme anschließend P(E).
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment?
#246
Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhält man die Wahrscheinlichkeit für ein Elementarereignis, indem man die Ast-Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm multipliziert (1. Pfadregel).
Was sind Beispiele für Ereignisse und ihre Gegenereignisse mit den Begriffen "mindestens" oder "höchstens"?
#247
Beispiele für Ereignis und Gegenereignis:

Ereignis A: Mindestens ein Schuss geht daneben.
Gegenereignis A: Kein Schuss geht daneben.

Ereignis B: Höchstens 9 von 10 gezogenen Kugeln sind rot.
Gegenereignis B: Alle gezogenen Kugeln sind rot.

Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis ergänzen sich jeweils zu 100%

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E in einem mehrstufigen Zufallsexperiment?
#248
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten kann ein Ereignis E mehrere Pfade im Baumdiagramm umfassen. Um die Wahrscheinlichkeit von E zu bestimmen, muss man die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade addieren (2. Pfadregel).
Beispiel
In einer Urne befinden sich zwei schwarze, zwei weiße und eine orange Kugeln. Es werden drei Kugeln hintereinander - ohne Zurücklegen - gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Farbe einmal drankommt?