2.2 Quadratische Funktionen vom Typ f(x)=ax^2, Matheübungen

- Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-9. Klasse)

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  • Der Graph der quadratischen Funktion y=x² heißt Normalparabel mit dem Scheitel S ( 0 | 0 ).

    Eigenschaften der Funktion / des Graphen:

    • Die Funktion y=x² ordnet jedem x-Wert seine Quadratzahl x² zu.
    • Damit gilt: der y-Wert einer Zahl x und der y-Wert ihrer Gegenzahl -x sind immer gleich. Deshalb ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
    • Der kleinste Funktionswert ist 0. Alle anderen Funktionswerte sind positiv.
    • Der tiefste Punkt des Graphen heißt Scheitel. Er liegt bei der Normalparabel im Ursprung.
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Bestimme alle x-Werte, für die der Punkt P auf der Normalparabel mit dem Scheitel S liegt. Schreibe "!", falls es keine passenden x-Werte gibt. Schreibe Brüche als "a/b" bzw. "-a/b".

  • Normalparabel y
    =
    x
    2
    Punkt P ( x | 
    4
    9
     ) 
    x
    1
    =
    x
    2
    =
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Welche typischen Eigenschaften und Merkmale hat die quadratische Funktion y=x² und ihr Graph?
#828

Der Graph der quadratischen Funktion y=x² heißt Normalparabel mit dem Scheitel S ( 0 | 0 ).

Eigenschaften der Funktion / des Graphen:

  • Die Funktion y=x² ordnet jedem x-Wert seine Quadratzahl x² zu.
  • Damit gilt: der y-Wert einer Zahl x und der y-Wert ihrer Gegenzahl -x sind immer gleich. Deshalb ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
  • Der kleinste Funktionswert ist 0. Alle anderen Funktionswerte sind positiv.
  • Der tiefste Punkt des Graphen heißt Scheitel. Er liegt bei der Normalparabel im Ursprung.
Beispiel 1
Bestimme den zugehörigen y-Wert zum gegebenen x-Wert:
y
=
x
2
x
=
−
4
y
=
▇
Beispiel 2
Überprüfe, ob der gegebene Punkt auf der Normalparabel mit dem Scheitel S (0 | 0) liegt.
Normalparabel y
=
x
2
P (12 | 120)
Beispiel 3
Bestimme, falls möglich, alle x-Werte, für die die Punkte P und Q auf der Normalparabel mit dem Scheitel S ( 0 | 0 ) liegen.
Normalparabel y
=
x
2
Punkt P ( x | 
64
 ) 
Punkt Q ( x | 
−
64
 )
Wie bestimmt man den Formparameter a einer Parabel, wenn die Gleichung bis auf diesen bekannt ist?
#233
Die Gleichung einer Parabel sei bis auf den Formfaktor a bekannt. Dann lässt sich a bestimmen, indem man einen Punkt des Graphen aus dem Koordinatensystem abliest, ihn in die Parabelgleichung einsetzt und die Gleichung nach a auflöst.
Beispiel
graphik
Was sagt der Graph der Funktion y = ax² (a≠0) über die Form der Parabel aus?
#232

Die durch y = ax² (a≠0) definierte Parabel hat den Scheitel im Ursprung und ist gegenüber der Normalparabel in y-Richtung um das |a|-fache gestreckt (|a|>1) oder gestaucht (|a|<1). Das Vorzeichen von a legt fest, ob die Parabel nach oben (a positiv) oder nach unten (a negativ) geöffnet ist.

Beispiel
Neben der Normalparabel (grau) sind drei verschiedene Parabeln mit der Gleichung y = ax² dargestellt. Lies jeweils das Vorzeichen von a ab und gib an, ob |a|>1 oder |a|<1.
graphik