2.2 ...speziell Verschiebung von Hyperbeln, Matheübungen

Elementare gebrochen-rationale Funktionen, Bruchterme und Bruchgleichungen - Lehrwerk mathe.delta (5.-9. Klasse)

Hilfe
  • Ermittle die Asymptoten des Graphen von g und überlege, wie diese von der x-Achse bzw. y-Achse aus verschoben sind.
  • Der Parameter a im Term einer gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung y=a/x kann eine Streckung in y-Richtung und eine Spiegelung an der x-Achse bewirken (siehe Beispiel).
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Beschreibe, wie sich aus dem Graphen von f der Graph von g ergibt.

  • graphik
    Wähle alle erforderlichen Veränderungen aus, mit denen man aus dem grünen Graphen den blauen Graphen erhält.
    Streckung in y-Richtung …
    … um den Faktor   
    0,25
       
    0,5
       
    1,5
       
    2
       
    2,5
       
    3
    Spiegelung an der x-Achse
    Verschiebung in   positive x-Richtung …   negative x-Richtung …
    … um   
    0,5
       
    1
       
    1,5
       
    2
       
    2,5
       
    3
       Einheit(en).
    Verschiebung in   positive y-Richtung …   negative y-Richtung …
    … um   
    0,5
       
    1
       
    1,5
       
    2
       
    2,5
       
    3
       Einheit(en).
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Wie beeinflussen die Parameter b und c den Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion y=a/(x+b)+c?
#837
Der Parameter b im Term einer elementaren gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung y=a/(x+b)+c bewirkt eine Verschiebung entlang der x-Achse, der Parameter c eine Verschiebung entlang der y-Achse (siehe Beispiel).
Beispiel
Den Graphen der Funktion g mit dem Term 
g(x)
=
a
x
+
b
+
c
 erhält man aus dem Graphen der Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
a
x
 durch
  • Verschiebung um |b| in 
    negative
     x-Richtung, falls b 
    positiv
     ist, bzw.
  • Verschiebung um |b| in 
    positive
     x-Richtung, falls b 
    negativ
     ist,
und durch
  • Verschiebung um |c| in positive y-Richtung, falls c positiv ist, bzw.
  • Verschiebung um |c| in negative y-Richtung, falls c negativ ist.
Die Form der Hyperbel ändert sich dabei nicht, solange der Zähler des Bruchterms gleich bleibt (hier a).
Aufgabenbeispiel:
graphik
Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graphen von f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 hervorgeht, und gib einen passenden Funktionsterm für g an.
Wie beeinflusst der Parameter a den Graphen der Funktion y=a/x?
#838
Der Parameter a im Term einer gebrochen-rationalen Funktion mit der Gleichung y=a/x kann eine Streckung in y-Richtung und eine Spiegelung an der x-Achse bewirken (siehe Beispiel).
Beispiel
Den Graphen der Funktion g mit dem Term 
g(x)
=
a
x
 erhält man aus dem Graphen der Funktion f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 durch
  • Streckung um den Faktor |a| in y-Richtung und,
  • falls a negativ ist, durch Spiegelung an der x-Achse.
Aufgabenbeispiel:
graphik
Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graphen von f mit dem Term 
f(x)
=
1
x
 hervorgeht, und gib einen passenden Funktionsterm für g an.
Wie leitet man den Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion aus ihrem Graphen ab?
#839
Anhand der Asymptoten und mithilfe eines Punkts des Graphen kann man bei elementaren gebrochen-rationalen Funktionen vom Graphen auf den Funktionsterm schließen (siehe Beispiel).
Beispiel
Für elementare gebrochen-rationale Funktionen kann man aus einem gegebenen Graphen auf den zugehörigen Funktionsterm der Form 
f(x)
=
a
x
+
b
+
c
 schließen, indem man …
  • … die senkrechte und die waagrechte Asymptote am Graphen abliest,
  • … damit im Funktionsterm die Werte der Paramter b und c festlegt,
  • … einen Punkt des Graphen abliest und die Koordinaten dieses Punkts in den Funktionsterm einsetzt ("Punktprobe")
  • … und die entstehende Gleichung nach dem Parameter a auflöst, um auch dessen Wert zu bestimmen.
Den gesuchten Funktionsterm erhält man schließlich durch Einsetzen der Werte von a, b und c in den allgemeinen Funktionsterm.
Aufgabenbeispiel:
graphik
Bestimme den zum Graphen passenden Funktionsterm.