2.2 Vektorprodukt und Flächenmaßzahlen, Matheübungen

- Lehrplan (im Aufbau)

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  • Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme die Fläche A des Dreiecks QRS.

  • Q(1|-2|9), R(5|7|-10), S(2|2|0)
    A
    =
    2
     
    3
     
    FE
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keine Berechtigung
Wie berechnet man die Koordinaten des Produktvektors beim Vektorprodukt zweier Vektoren?
#619
Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Hat der erste Faktor die Koordinaten a1, a2 und a3 und der zweite die Koordinaten b1, b2 und b3, so ergeben sich die Koordinaten des Kreuzprodukts nach folgender Rechenvorschrift:

a2b3 − a3b2

a3b1 − a1b3

a1b2 − a2b1

Beispiel
−
1
−
4
5
 
×
 
7
2
−
3
=
?
Welche Eigenschaft hat das Vektorprodukt zweier Vektoren bezüglich des aufgespannten Parallelogramms?
#620
Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
Beispiel
Gegeben ist das Dreieck QRS mit den Punkten Q(2|3|-4), R(6|-1|-2) und S(9|-1|2). Bestimme seinen Flächeninhalt.
Was ist ein Spat und wie wird sein Volumen berechnet?
#622
Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen zu berechnen, gehe wie folgt vor:
  1. Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
  2. Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
  3. Der Betrag davon ist das Spatvolumen.
Beispiel
Berechne das Volumen des von den Vektoren 
a
, 
b
 und 
c
 aufgespannten Prismas mit 
a
=
1
2
−
1
, 
b
=
2
−
3
5
 und 
c
=
2
0
3
.
graphik
Wie ist die Lage des Vektorprodukts zweier Vektoren relativ zu diesen?
#621
Das Vektorprodukt zweier Vektoren steht zu diesen beiden senkrecht.
Beispiel
Gegeben sind die Vektoren
 
a
=
1
−
2
3
 
und
 
b
=
−
3
−
1
2
 
.
Bestimme jeweils einen Vektor
 
v
 
, der zu diesen beiden senkrecht steht und
(a) die Länge 3 besitzt.
(b) dessen dritte Koordinate den Wert 1 besitzt.