2.3 Normalverteilung, Matheübungen

Normalverteilung - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 46 Aufgaben in 9 Levels

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    Eine Gauß'sche Glockenfunktion besitzt den in der Abbildung dargestellten Graphen und Term:
    • Lage des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
    μ gibt die x-Koordinate des Hochpunkts und die Lage der senkrechten Symmetrieachse an.
    • Form des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
    Je größer σ ist, desto "breiter" wird der Graph. σ gibt an, wie weit die Wendestellen von der Extremstelle entfernt sind. Damit die Fläche unter dem Graphen den Inhalt 1 beibehält, muss er mit zunehmender Streckung in x-Richtung entlang der y-Achse gestaucht werden.
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 2
  • Entscheide, welche der Aussagen über Gauß'sche Glockenfunktionen und deren Integralfunktionen zutreffen.
    • φ
    μ;
     
    σ
     
    x
    =
    1
    σ
    2π
    ·
    e
    −
    x
    −
    μ
    2
    2σ
    2
     mit 
    μ
     
    ∈
     
    ℝ
     und 
    σ
     
    >
     
    0
     ist ein Funktionsterm einer Gauß'schen Glockenfunktion. Für sie gilt:
    lim
    x
     
    →
     
    +
    ∞
     
    φ
    μ;
     
    σ
     
    x
    =
     
    lim
    x
     
    →
     
    −
    ∞
     
    φ
    μ;
     
    σ
     
    x
    =
     
    Begründung: Der Exponent des zweiten Faktors von 
    φ
    μ;
     
    σ
     
    x
     geht für 
    x
     
    →
    +
    ∞
     gegen und für 
    x
     
    →
    −
    ∞
     gegen
    Zudem gilt
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie nutzt man die kumulative Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsgröße zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und welche besonderen Eigenschaften hat sie?
#1487

Die kumulative Verteilungsfunktion \(\displaystyle \Phi\) einer normalverteilen Zufallsgröße besitzt unter anderem folgende Eigenschaften:

  • Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung folgt stets \(\displaystyle \Phi(\mu)=0{,}5\).
  • Wahrscheinlichkeiten der Form \(\displaystyle P(X\leq x)\) können als Funktionswert \(\displaystyle \Phi(x)\) am Graphen abgelesen werden.
  • Da die Normalverteilung eine stetige Verteilung ist, folgt \(\displaystyle P(X \leq x) = P(X < x)=\Phi(x)\).
Wie lautet der Term einer Gauß'schen Glockenfunktion und wie beeinflussen μ und σ die Lage und Form ihres Graphen?
#1307

Eine Gauß'sche Glockenfunktion besitzt den in der Abbildung dargestellten Graphen und Term:
  • Lage des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
μ gibt die x-Koordinate des Hochpunkts und die Lage der senkrechten Symmetrieachse an.
  • Form des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
Je größer σ ist, desto "breiter" wird der Graph. σ gibt an, wie weit die Wendestellen von der Extremstelle entfernt sind. Damit die Fläche unter dem Graphen den Inhalt 1 beibehält, muss er mit zunehmender Streckung in x-Richtung entlang der y-Achse gestaucht werden.
Beispiel 1

Gegeben ist die Gauß'sche Glockenfunktion \(\varphi(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-4)^2}{8}}\) mit der Integralfunktion \(\Phi(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)\,dt\text{.}\)

a) Bestimme für den Graphen von \(\varphi\) die Stelle des Hochpunkts und der Wendepunkte.

b) Gib für den Graphen von \(\Phi\) die Symmetrie und die Stelle der größten Steigung an.

Beispiel 2
Entscheide, ob der folgende Term zu einer Gauß'schen Glockenfunktion gehören kann, und ermittle gegebenenfalls passende Werte für die Parameter μ und σ:
φ
 
x
=
2
2π
·
e
−
2x
2
+
2x
−
0,5
Beispiel 3

Ermittle anhand des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion bzw. ihrer Integralfunktion die Parameter \(\mu\) und \(\sigma\text{.}\)

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Gauß'schen Glockenfunktion.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Integralfunktion einer Gauß'schen Glockenfunktion mit Untergrenze \(-\infty\text{.}\)

Was ist eine normalverteilte Zufallsgröße X und wie bestimmt man die Wahrscheinlichkeit für Werte in einem Intervall [a; b]?
#1329
Eine Zufallsgröße X nennt man normalverteilt mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ, wenn ihre Dichtefunktion eine Gauß'sche Glockenfunktion φ mit den Parametern μ und σ ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte von X in einem Intervall [a; b] liegen, ist also das Integral über φ mit Untergrenze a und Obergrenze b, und kann mit dem Taschenrechner oder graphisch als Inhalt des entsprechenden Flächenstücks unter dem Graphen von φ ermittelt werden.
Beispiel 1
Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit 
μ
=
30
 und 
σ
=
3
.
 Ermittle die folgenden Wahrscheinlichkeiten auf drei Dezimalen genau. Verwende bei a) den Taschenrechner und ermittle die restlichen Wahrscheinlichkeiten ohne Taschenrechner, aber mit Begründung:
a) 
P
 
25
 
≤
 
X
 
≤
 
35
b) 
P
 
X
 
∈
 
30;
 
35
c) 
P
 
X
=
33
d) 
P
 
X
 
≥
 
25
Beispiel 2
Ein Hersteller von Tiefkühl-Produkten stellt Apfelstrudel mit einem Nenngewicht von 600 Gramm her. Gemäß der sogenannten Fertigpackungsverordnung darf dieses um höchstens 15 Gramm unterschritten werden.
a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Apfelstrudel gegen die Verordnung verstößt, wenn die Gewichte der Apfelstrudel in Gramm normalverteilt sind, im Durchschnitt dem Nenngewicht entsprechen, jedoch eine Standardabweichung von 5 Gramm besitzen.
b) Bestimme außerdem die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Apfelstrudel auf Gramm gerundet wirklich ein Gewicht von 600 Gramm besitzt.
Beispiel 3
graphik
Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße X.
a) Ermittle 
P
 
−
2,5
 
≤
 
X
 
≤
 
0
.
b) Bestimme u so, dass gilt: 
P
 
X
 
≥
 
u
 
≈
 
0,1
.
Beispiel

In einem Schwimmbad wird die Ankunftszeit der Besucher modelliert. Dabei gibt eine normalverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(\mu = 3 \) und \(\sigma = 1\) die Zeit (in Stunden nach Öffnung) an, zu der ein zufällig ausgewählter Besucher das Schwimmbad betritt. Das Schwimmbad öffnet um 8:00 Uhr. Insgesamt kommen pro Tag 150 Besucher.

a) Berechne, wie viele Besucher bis 12:00 Uhr das Schwimmbad betreten.

b) Bestimme die Uhrzeit, zu der der 25. Besucher das Schwimmbad betritt.