2.4.1 Ebenen in Koordinatenform: Punktprobe und Aufstellen von Ebenengleichungen, Matheübungen

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Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 19.
  • Stelle zunächst die Vektorgleichung auf.
  • Die allgemeine Normalengleichung der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor und einem Aufpunkt P.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.

Von einer Ebene E sind ein Normalenvektor und ein Ebenenpunkt gegeben. Gib eine Normalengleichung der Ebene in Vektor- und in Koordinatenform an.

  • Normalenvektor
     
    n
    =
    2
    2
    1
     
    und P( 3 | -2 | 1)
    Normalengleichung der Ebene:
    ·
    x
    −
    =
    0
    Koordinatengleichung der Ebene:
    x
    1
    +
    x
    2
    +
    x
    3
    −
    =
    0
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Wie überprüft man, ob ein Punkt P in einer Ebene E in Koordinatenform liegt?
#608
Um zu überprüfen, ob der Punkt P(p1 | p2 | p3) in der Ebene E: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0 enthalten ist, setze P in E ein, d.h. überprüfe die Aussage n1 p1 + n2 p2 + n3 p3 + n0 = 0 auf Richtigkeit.
Welche Komponenten sind für die Normalengleichung einer Ebene notwendig?
#687
Die allgemeine Normalengleichung der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor und einem Aufpunkt P.
Beispiel
Die Ebene E besitzt den Normalenvektor
 
n
=
−
1
−
1
4
 
und enthält den Punkt P(0|2|0).
Wie leitet man die Normalenform einer Ebene aus drei gegebenen Punkten ab?
#610
Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man einen der Punkte als Aufpunkt und das Vektorprodukt zweier Verbindungsvektoren als Normalenvektor für ihre Gleichung in Normalenform verwenden.
Beispiel
Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A(2|2|-2), B(3|-3|-5) und C(5|-3|4) geht, eine Gleichung in Normalenform (Koordinatendarstellung) an.
Wie konstruiert man die Lotgerade zu einer Ebene und die Lotebene zu einer Geraden durch einen Punkt?
#795
Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:
  • P als Aufhängepunkt und
  • den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.
Für die Lotebene E zu einer Geraden g durch einen Punkt P wählt man:
  • P als Aufhängepunkt und
  • den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.