2.4 Funktionsgleichungen bestimmen - Textaufgaben, Matheübungen

Lineare Funktionen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-9. Klasse)

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  • Führe dir den Zusammenhang als Gerade (lineare Gleichung) vor Augen!

Berechne.

  • Neulich machte ich Urlaub an der Westküste der USA. Einige Tage fuhren wir mit unserem RV durch wüstenartige Landstriche. An einem Campingplatz beklagte sich der Platzwart über die "Wahnsinnstemperaturen" der letzten Tage und sprach von 111° Fahrenheit an diesem Nachmittag - was uns zunächst mal gar nichts sagte. Im Hinterkopf hatte ich aber, dass 0° Fahrenheit etwa −18° Celsius entspricht und 100° Fahrenheit leichtem Fieber, also ca. 38°. Berechne daraus, wie heiß es an diesem Tag - in Celsius angegeben - war.
    Antwort: ° Celsius (gerundet auf Ganze)
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Lineare Funktionen - Graph und Funktionsterm
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Wie berechnet man die Steigung einer Geraden mit zwei gegebenen Punkten?
#151
Ist eine Gerade g durch zwei Punkte A(x1|y1) und B(x2|y2) gegeben, so kann man ihre Steigung m so berechnen:
  1. Berechne die Differenz der y-Werte beider Punkte, also Δy = y2 − y1.
  2. Berechne ebenso die Differenz der x-Werte beider Punkte, also Δx = x2 − x1.
  3. Der Bruch Δy / Δx ergibt die Steigung m.
Beispiel
Ermittle die Steigung der Gerade, die durch die Punkte (-1,5 | 2,5) und (0 | -3) geht.
Was beschreibt ein Term T(x) in Abhängigkeit von einer Variablen x?
#302
Ein Term T(x) drückt aus, wie sich eine bestimmte Größe (z.B. Kosten einer Klassenfahrt) abhängig von der Größe x (Anzahl der teilnehmenden Schüler) berechnet.
Beispiel
Auf einer Party sind Kinder und Erwachsene, wobei x die Anzahl der Kinder sein soll. Stelle den Term T(x) für die Anzahl aller Personen auf der Party auf, wenn gilt:
a) Auf der Party sind 4 Erwachsene mehr als Kinder.
b) Auf der Party sind halb so viele Erwachsene wie Kinder.
c) Würden noch zwei Erwachsene mehr zur Party kommen, so wären halb so viele Erwachsene wie Kinder da.
Wie berechnet man den y-Achsenabschnitt einer Geraden, wenn die Steigung und ein Punkt bekannt sind?
#634
Ist eine Gerade g durch ihre Steigung m und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man den y-Achsenabschnitt b leicht bestimmen:
  1. Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + b (für m setze die bekannte Steigung ein).
  2. Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
  3. Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten b auf.
Beispiel
Wo schneidet die Gerade, die durch 
m
=
−
1,6
 und P(2|−0,5) gegeben ist, die y-Achse?
Beispiel
Dirk wiegt 72 kg und möchte mit Krafttraining Muskelmasse aufbauen, um Wrestler im Superschwergewicht zu werden. Mit Hilfe eines strengen Trainings- und Ernährungsplans will er pro Monat ca. 5kg zulegen. Sebastian hat mit 102kg deutlich Übergewicht und will durch eine disziplinierte Diät wöchentlich ca. 500g abnehmen. Nach wie vielen Wochen wären Dirk und Sebastian gleich schwer, wenn sie mit der Umsetzung ihrer Pläne zur selben Zeit beginnen und durchhalten?
Wie berechnet man die Steigung einer Geraden mit bekanntem y-Achsenabschnitt und einem gegebenen Punkt?
#654
Ist eine Gerade g durch ihren y-Achsenabschnitt b und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man die Steigung m leicht bestimmen:
  1. Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + b (für b setze den bekannten y-Achsenabschnitt ein).
  2. Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
  3. Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten m auf.
Beispiel
Welche Steigung hat die Gerade, deren Achsenabschnitt b = 2,5 ist und die durch den Punkt P(2 | -0,5) verläuft?
Wie lautet die Geradengleichung?
Wie bestimmt man die Gleichung einer Geraden aus zwei gegebenen Punkten?
#635
Ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben, so geht man wie folgt vor, um ihre Gleichung, sprich m und b, zu ermitteln:
  1. Bestimme zunächst die Steigung m = Δy / Δx .
  2. Setze dann in die Gleichung y = m·x + b die Koordinaten von einem der beiden Punkte ein und löse die Gleichung nach b auf.
Beispiel
Ermittle die Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte P1(−3|2) und P2(5|−4) geht.
Wie berechnet man die fehlende Koordinate eines Punktes auf einer Geraden, wenn eine Koordinate bekannt ist?
#650
Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.

Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und die entstehende Gleichung nach x auflöst. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.
Beispiel
Die beiden Punkte liegen auf der Geraden. Berechne die fehlenden Werte.
Gerade:
 
y
=
3
·
x
−
1
Punkte:
P
 
−
2
 
|
 
?
Q
 
?
 
|
 
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Wie kann man rechnerisch überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?
#646
Um zu überprüfen, ob ein Punkt P(x | y) auf der Geraden liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.
Beispiel
Liegt der Punkt P auf der Geraden g?
Gerade:
 
y
=
2
·
x
+
5
Punkt:
 
P
 
3
 
|
 
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