2.4 Zusammenhang von Funktionsterm und Graph, Matheübungen

Gebrochen-rationale Funktionen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse) - 25 Aufgaben in 5 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 2
  • Setze den zugehörigen Term aus genau zwei der angeboteten Teilterme richtig zusammen.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • Eine gebrochen rationale Funktion, die/deren Graph folgende Eigenschaften besitzt:
    • die Gerade x = 0,5 ist senkrechte Asymptote
    • die Gerade y = 0 ist waagrechte Asymptote
    • Schnittpunkt mit der x-Achse bei x = −3
     ▉ 
    Zähler
     
     ▉ 
    Nenner
     
         
     
    2x
    +
    6
     ▉ 
    Zähler
     
     ▉ 
    Nenner
     
         
     
    x
    −
    3
     ▉ 
    Zähler
     
     ▉ 
    Nenner
     
         
     
    x
    2
    −
    9
     ▉ 
    Zähler
     
     ▉ 
    Nenner
     
         
     
    x
    +
    1
    2
     ▉ 
    Zähler
     
     ▉ 
    Nenner
     
         
     
    x
    −
    1
    2
     ▉ 
    Zähler
     
     ▉ 
    Nenner
     
         
     
    x
    2
    −
    0,25
    Schritt 1 von 3
    Die Eigenschaft
    • senkrechte Asymptote x = 0,5
    schränkt den
    Zähler
     
         
    Nenner
    ein auf die möglichen Terme
    2x
    +
    6
    x
    −
    3
    x
    2
    −
    9
    x
    +
    1
    2
    x
    −
    1
    2
    x
    2
    −
    0,25
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Stoff zum Thema
Wie erkennt man Achsen- und Punktsymmetrie bei Funktionen, insbesondere bei ganzrationalen Funktionen?
#758
  • Achsensymmetrie zur y-Achse:
Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
f(x) = f(-x)

  • Punktsymmetrie zum Ursprung:
Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
-f(x) = f(-x)

  • Spezialfall: ganzrationale Funktionen

f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
Also gilt:
Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

-f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
Also gilt:
Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

  • Hinweis:
Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.
Wie lassen sich Bruchterme vereinfachen und welche Techniken sind dabei hilfreich?
#749
Bruchterme lassen sich evtl. durch Kürzen vereinfachen. Voraussetzung dafür ist, dass Zähler und Nenner in Produktform, also faktorisiert, vorliegen. Oft muss man diese Faktorisierung erst einmal vornehmen, bevor man kürzt. Folgende Techniken helfen dabei am häufigsten weiter:
  • Ausklammern von x bzw. einer Potenz von x, z.B. bei x³−4x²+x
  • Binomische Formeln
  • Lösungsformel für qudratische Gleichung oder auch Satz von Vieta
Wie leitet man den Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion mit Zähler- und Nennergrad höchstens 2 aus ihrem Graphen ab?
#1484

Die Nullstellen des Graphen sind die Nullstellen des Zählers des Funktionsterms.

Die Polstellen des Graphen sind die Nullstellen des Nenners des Funktionsterms. Wenn die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist, ist der Nennergrad gerade, bei einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist er ungerade.

Wenn der Graph die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote hat, gilt: Zählergrad < Nennergrad.

Wenn der Graph eine waagrechte Asymptote hat, die nicht die \(x\)-Achse ist, dann gilt Zählergrad = Nennergrad. Außerdem kann man aus der Gleichung der Asymptoten die Leitkoeffizienten ablesen: \(y=\frac{a}{b} \Rightarrow f(x)=\frac{a(x - x_1)(x - x_2)}{b(x - p_1)(x - p_2)}\)

Beispiel

Bestimme einen möglichen Term zum Graphen. Zähler- und Nennergrad sind höchstens \(2\).