2.4 Zusammenhang von Funktionsterm und Graph, Matheübungen

Gebrochen-rationale Funktionen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)

Untersuche den Funktionsterm, skizziere den zugehörigen Graph und entscheide anschließend.

  • f
     
    x
    =
    −
    1
    3
     
    x
    +
    2
    −
    5
    3x
    Asymptote(n)
    x
    =
    −
    5
    3
     
         
    x
    =
    0
     
         
     
    x
    =
    3
    y
    =
    −
    1
    3
     
         
     
    y
    =
    −
    1
    3
     
    x
    y
    =
    −
    1
    3
     
    x
    +
    2
    Nullstelle(n)
    x
    =
    0
     
         
     
    x
    =
    1
     
         
     
    x
    =
    3
     
         
     
    x
    =
    5
    Teilstücke des Graphen
    graphik
    graphik
    graphik
    graphik
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Wie erkennt man Achsen- und Punktsymmetrie bei Funktionen, insbesondere bei ganzrationalen Funktionen?
#758
  • Achsensymmetrie zur y-Achse:
    • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
    f(x) = f(-x)

  • Punktsymmetrie zum Ursprung:
    • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
    -f(x) = f(-x)

  • Spezialfall: ganzrationale Funktionen

    • f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
    Also gilt:
    Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

    -f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
    Also gilt:
    Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

  • Hinweis:
    • Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.
Wie lassen sich Bruchterme vereinfachen und welche Techniken sind dabei hilfreich?
#749
Bruchterme lassen sich evtl. durch Kürzen vereinfachen. Voraussetzung dafür ist, dass Zähler und Nenner in Produktform, also faktorisiert, vorliegen. Oft muss man diese Faktorisierung erst einmal vornehmen, bevor man kürzt. Folgende Techniken helfen dabei am häufigsten weiter:
  • Ausklammern von x bzw. einer Potenz von x, z.B. bei x³−4x²+x
  • Binomische Formeln
  • Lösungsformel für qudratische Gleichung oder auch Satz von Vieta