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  • Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn
    • x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
      → nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" !
    • keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
      → alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern
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Löse OHNE Formel. Gib "!" im zweiten Feld bzw. in beiden Feldern ein, wenn es nur eine bzw. gar keine Lösung gibt.

  • 1
    3
     
    x
    2
    =
    3
    x
    1
    =
    x
    2
    =
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Quadratische Gleichungen
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Quadratische Gleichungen

Kanal: Mathegym

Wie identifiziert man die Koeffizienten a, b und c in einer quadratischen Gleichung?
#241
Merke:
  • a ist der x² zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x² steht)
  • b ist der x zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x steht). Kommt x in der Gleichung nicht vor, so ist b = 0.
  • c ist die Konstante (d.h. c steht solo, ohne x oder x²). Kommt keine Konstante in der Gleichung vor, so ist c = 0.
Wie berechnet man die Diskriminante einer quadratischen Gleichung und was sagt sie aus?
#843

Um zu ermitteln, ob die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 überhaupt gelöst werden kann und ob es - falls ja - eine oder zwei Lösungen gibt, berechnet man am besten zuerst die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

  • Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar.
  • Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
  • Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.
Was ist die Mitternachtsformel und wie bestimmt man die Anzahl der Lösungen?
#243

Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 = (−b ± √D) : 2a

Beispiel 1
Löse die Gleichung 
2x
2
5x
7
=
0
.
Beispiel 2
Löse die Gleichung:
1
3
 
x
x
2
+
7
=
5
+
x
Welche zwei Spezialfälle quadratischer Gleichungen ermöglichen eine Lösung ohne die allgemeine Lösungsformel und wie löst man diese?
#242
Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn
  • x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
    → nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" !
  • keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
    → alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern
Beispiel
Löse jeweils so einfach wie möglich (ohne Lösungsformel):
1
    
2x
2
+
5
=
0
2
    
1
3
·
x
2
2
3
=
0
3
    
3x
2
+
2x
=
0
Wie kann eine quadratische Gleichung eine oder zwei Lösungen haben? Gib jeweils ein Beispiel und begründe dies.
#433
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form
  • (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
  • (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3
Beispiel
Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.
Was besagt der Satz von Vieta für quadratische Gleichungen?
#476
Satz von Vieta: Die quadratische Gleichung in Normalform

x2 + px + q = 0

besitzt die beiden Lösungen x1 und x2, falls
  • x1 + x2 = −p und
  • x1·x2 = q
Beispiel
Löse mit Hilfe des Satzes von Vieta:
x
2
7x
+
6
=
0