2.6 Exkursion: Umkehrfunktion, Matheübungen

Graph, Term und Definitionsmenge der Umkehrfunktion bestimmen; auf Umkehrbarkeit prüfen bzw. Definitionsmenge entsprechend einschränken - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

Zeige, dass f umkehrbar ist und bestimme die Definitionsmenge sowie den Term der Umkehrfunktion f -1.

  • f
     
    x
    =
    3
    ·
    x
    −
    2
    2
    −
    1
     , 
    x ≤ 2
    .
    f ist streng monoton und damit umkehrbar.
    D
    f
    −
    1
    =
    f
    −
    1
     
    x
    =
    −
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Umkehrfunktion
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Umkehrfunktion

Kanal: Mathegym
Wie kann man den Graphen und die Wertemenge einer Umkehrfunktion beschreiben?
#762
Sei f eine umkehrbare Funktion und f −1 ihre Umkehrfunktion. Der Graph von f −1 ergibt sich aus dem Graphen von f, indem man bei allen Punkten die x- und y-Koordinate vertauscht. Das ist gleichbedeutend mit einer Spiegelung an der Geraden y=x (Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten). Die Definitionsmenge von f −1 ist dann (logischer Weise) gleich der Wertemenge von f.
Wie bestimmt man den Term der Umkehrfunktion einer umkehrbaren Funktion?
#856
Ist eine Funktion umkehrbar, so erhält man den Term der Umkehrfunktion nach folgendem Rezept:
  1. Löse die Gleichung y = f(x) nach x auf.
  2. Vertausche dann x und y.
Beispiel
f
 
x
=
−
0,5x
+
1
9
.
Gib den Term der Umkehrfuktion 
f
−
1
 
x
 an.
Wie kann man feststellen, ob eine Funktion umkehrbar ist?
#855
Ist eine Funktion in einem bestimmten Intervall streng monoton zunehmend oder abnehmend, so ist sie in diesem Intervall auch umkehrbar.