2.6 Vermischte Aufgaben, Mathe-Übungen

- Lehrwerk Fundamente der Mathematik (5.-9. Klasse)

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 15.
  • Nach dem Distributivgesetz können gleiche Wurzeln (bzw. Vielfache davon) addiert und subtrahiert werden:

    a√c + b√c = (a + b)√c

    Achtung: √a + √b ≠ √(a+b)
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.

Radiziere (also ziehe die Wurzel) teilweise und fasse zusammen. Ohne Taschenrechner!

  • 12
    +
    45
    −
    80
    +
    75
    =
     
    −
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Die Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl Zahl, die quadriert a ergibt, also

(√a)2 = a.

Die Zahl unter der Wurzel nennt man Radikand.

Laut dieser Definition gilt also: Weder der Radikand noch der Wert des Wurzelterms dürfen/können negativ sein!
Beispiel
3
6
25
=
81
25
=
9
5
2
=
9
5
Nach dem Distributivgesetz können gleiche Wurzeln (bzw. Vielfache davon) addiert und subtrahiert werden:

a√c + b√c = (a + b)√c

Achtung: √a + √b ≠ √(a+b)
Beispiel
Fasse zusammen:
18
−
3
+
5
 
2
−
6
 
32
Distributivgesetz:

a · (b + c ) = a · b + a · c    ("Klammer ausmultiplizieren")

(a + b ) : c = a : c + b : c

Statt + kann man auch − einsetzen, d.h. das Distributivgesetz gilt für Summen wie auch für Differenzen, die mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl dividiert werden.

Beispiel 1
Vereinfache:
12
+
20
−
2
 
27
·
5
36
Beispiel 2
Vereinfache:
3
 
32
−
108
·
5
 
3
−
6
Beachte beim Rechnen mit Variablen, dass (weil a auch negativ sein könnte)

√(a²) = | a |

Der Betragstrich ist nicht nötig, wenn a < 0 ausgeschlossen werden kann. Ist hingegen bekannt, dass a negativ ist, kann man statt des Betrags auch konkret schreiben

√(a²) = −a

Ob eine Variable unter der Wurzel positiv oder negativ ist, erschließt sich oft indirekt aus der Aufgabenstellung.

Beispiel 1
Gegeben ist der Term 
x
6
.
Welche Werte können für x eingesetzt werden und wie lautet der vereinfachte Term?
Beispiel 2
Vereinfache (x ≠ 0)
3
 
−
4x
2
y
:
12y
4
Beispiel 3
Vereinfache (a > 0, b > 0):
a
2
+
ab
−
a
+
b
:
a
−
1
Rationalmachen des Nenners bedeutet, einen Bruch so umzuformen, dass der Nenner wurzelfrei ist. Meistens erreicht man das durch Erweitern:
  • steht √a im Nenner, so erweitert man mit √a
  • steht √a + √b im Nenner, so erweitert man mit √a − √b (3. binomische Formel)