3.1 Bogenmaß, Matheübungen

Sinus- und Kosinusfunktion - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Jeder Winkel kann in Grad angegeben werden (z.B. 90° für den rechten Winkel) oder im Bogenmaß (π/2).

    Man muss sich das so vorstellen: Sticht man in den Scheitel des 90°-Winkels ein und zeichnet einen Kreis mit Radius 1, so ist der Bogen zwischen den beiden Schenkeln genau π/2 lang.

    Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaß mittels Dreisatz, ausgehend von

    180° (Grad)    entspricht    π (Bogenmaß)

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Rechne ins Bogenmaß um und gib das Ergebnis passend an (achte darauf, ob hinter dem Eingabefeld π steht). Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • 153°
    ≙
     
    π
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Bogenmaß
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Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion
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Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion

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Wie wird ein Winkel von 90° in Bogenmaß umgerechnet und wie kann man sich das Bogenmaß vorstellen?
#455
Jeder Winkel kann in Grad angegeben werden (z.B. 90° für den rechten Winkel) oder im Bogenmaß (π/2).

Man muss sich das so vorstellen: Sticht man in den Scheitel des 90°-Winkels ein und zeichnet einen Kreis mit Radius 1, so ist der Bogen zwischen den beiden Schenkeln genau π/2 lang.

Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaß mittels Dreisatz, ausgehend von

180° (Grad)    entspricht    π (Bogenmaß)

Beispiel 1
Wandle 230° ins Bogenmaß um.
Beispiel 2
Drücke die Winkel π/11 und 5 (Bogenmaß) jeweils in Grad aus.
Wie sind Sinus und Kosinus am Einheitskreis definiert?
#333
Jedem Winkel α lässt sich auf dem Einheitskreis genau ein Punkt P(x|y) zuordnen. Der Winkel wird dabei von der positiven x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Man definiert:

cos(α) = x und sin(α) = y

Sinus- und Kosinuswerte können also als Koordinaten von Punkten des Einheitskreises aufgefasst werden.
Beispiel 1
Ermittle anhand des Einheitskreises:
sin
 
450°
=
?
cos
 
360°
=
?
Beispiel 2
Mit welchen der folgenden vier Werte stimmt 
cos
31°
 überein? Entscheide anhand des Einheitskreises.
−
cos
−
31°
   
cos
149°
   
−
cos
211°
   
cos
121°
Wie beeinflusst die Spiegelung eines Punktes P auf dem Einheitskreis an der x-Achse, y-Achse oder am Ursprung die Sinus- und Kosinuswerte?
#334

Sei P der Punkt des Einheitskreises, der dem Winkel α zugeordnet ist.

Winkel Spiegelung von P Vorzeichenänderung Formeln
−α bzw.
360° − α		 an der x-Achse nur sin sin(α) = − sin(360° − α)
cos(α) = cos(360° − α)
180° − α an der y-Achse nur cos sin(α) = sin(180° − α)
cos(α) = − cos(180° − α)
α ± 180° am Ursprung sin und cos sin(α) = − sin(α ± 180°)
cos(α) = − cos(α ± 180°)
α ± 360° P verändert sich nicht sin(α) = sin(α ± 360°)
cos(α) = cos(α ± 360°)
Beispiel 1
Führe sin(139°) auf einen Winkel im Intervall [180° ; 270°] zurück.
Beispiel 2
Führe cos(2314°) auf einen Winkel zwischen 0° und 90° zurück:
Beispiel 3
Gib alle Lösungen im Intervall [0°;360°] an.
sin
x
=
0,7