3.1 Gleichungssysteme und Parabeln durch 3 Punkte, Matheübungen

Quadratische Funktionen in Anwendungen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Entnimm der Abbildung drei Punkte A, B und C, die auf der Parabel liegen. Gehe von der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion aus. Stelle anhand der drei Punkte ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten auf. Löse das Gleichungssystem und versuche mithilfe des nun bekannten Funktionsterms die Frage im Sachzusammenhang zu beantworten.
  • Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden. Sind von der Parabel ...
    • ... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
    • ... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
    • ... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.

Bestimme den passenden Term einer quadratischen Funktion und beantworte die Frage im Sachzusammenhang.

  • Jenny hat eine Mehrfachbelichtung von Gregs Basketballwurf aufgenommen: In der Abbildung ist ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 Meter ergänzt worden, so dass man drei Punkte ablesen kann, an denen sich der Mittelpunkt des Basketballs nacheinander befunden hat. Jenny ist sich gar nicht mehr sicher, ob der Ball direkt in den Korb gegangen ist. Unter der Annahme, dass die Flugbahn des Basketballs parabelförmig ist, kann diese Frage jedoch beantwortet werden.
    graphik
    Der zur Flugbahn passende Funktionsterm lautet:
    f(x)
    =
     
     
    x
    2
     
    +
     
     
    x
    +
    Der Basketball war am Ort (4,5|3) des Basketballkorbs   Meter zu tief.
    (Gib "0" ein, wenn der Basketball direkt in den Korb getroffen hat.)
    Notizfeld
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keine Berechtigung
Wie bestimmt man die Gleichung einer Parabel, die durch drei Punkte festgelegt ist?
#430
Eine Parabel lässt sich durch drei geeignete Punkte eindeutig festlegen. Durch das Einsetzen der drei Punkte in die Funktionsgleichung y = ax² + bx + c erhält man ein Gleichungssystem mit den drei Unbekannten a, b und c. Dieses kann mittels Einsetz- oder Subtraktionsverfahren gelöst werden.
Beispiel
Ermittle die Gleichung der Parabel durch folgende Punkte:
A
 
2
 
|
 
1
;
    
B
 
−
3
 
|
 
2
;
    
C
 
1
 
|
 
−
5
Wie modelliert man Parabeln in Sachzusammenhängen abhängig von gegebenen Punkten?
#926
Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden. Sind von der Parabel ...
  • ... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
  • ... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
  • ... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.