3.11 Exponentielle Wachstumsprozesse, Matheübungen

Exponentialfunktionen, Logarithmen und Logarithmusfunktionen - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse)

Hilfe
  • Exponentielles Wachstum:
    Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
    B(n + 1) = B(n) · k.

    • B(n) gesucht:
      • Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
      B(n) = B(0) · kn

    • n gesucht:
      • Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
      B(n) = B(0) · kn | : B(0)
      B(n) / B(0) = kn | log
      log( B(n) / B(0) ) = log( kn)
      log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
      n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )

    • B(0) gesucht:
      • Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
      B(n) = B(0) · kn | : kn
      B(0) = B(n) / kn

    • k gesucht:
      Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
      B(n) = B(0) · kn | : B(0)
      B(n) / B(0) = kn
      Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Berechne.

  • Bei Leons Geburt 2011 legen seine Eltern für ihn 1000 € auf einem Sparkonto zu einem Zinssatz von 2,5% an.
    In wie vielen Jahren wird sich das Kapital mindestens verdoppelt haben?
    Die Rechnung ergibt (gerundet auf die 2. Dezimale):
    n ≈
     
    Das Kapital wird sich mindestens verdoppelt haben nach:
     
    Jahren
     
    gerundet auf Ganze
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
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keine Berechtigung
Wie hängen Wachstumsrate und Wachstumsfaktor beim exponentiellen Wachstum zusammen?
#345
Wachstumsrate = Wachstumsfaktor a − 1
  • Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um 20% (= Rate) zu, so hat er sich auf 120% (= a) des ursprünglichen Bestands vergößert.
  • Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um 20% (Rate) ab, so hat er sich auf 80% (= a) des ursprünglichen Bestands verringert.
Ansonsten bedenke, dass 80% = 0,8 und 120% = 1,2.
Beispiel
Wie lautet der Wachstumsfaktor (bezogen auf das angegebene Zeitintervall)
  1. bei einer monatlichen Zunahme um die Hälfte
  2. bei einer jährlichen Abnahme um ein Viertel
  3. bei einem täglichen Rückgang um 1,5%
Was bleibt beim exponentiellen Wachstum gleich und wie geht man bei typischen Fragestellungen vor?
#724
Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.

  • B(n) gesucht:
    • Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) · kn

  • n gesucht:
    • Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn | log
    log( B(n) / B(0) ) = log( kn)
    log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
    n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )

  • B(0) gesucht:
    • Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
    B(n) = B(0) · kn | : kn
    B(0) = B(n) / kn

  • k gesucht:
    Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn
    Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Beispiel 1
Ein Kapital von 2000 € vermehrt sich auf einem Sparkonto pro Jahr um 0,1%.
Nach 8 Jahren beträgt das Kapital auf dem Konto:
?
 
Euro
 
?
 
Cent
Beispiel 2
Ein Guthaben von 5000 € wird mit 3,7% verzinst. Nach wie vielen Jahren ist es auf 8000 € angewachsen?
Nach ? Jahren beträgt das Guthaben 8000 €.