3.2 Bernoulliexperimente und Ketten, Matheübungen

Bei Level 3 sind mehrere Bernoulliwahrscheinlichkeiten zu berechnen. Berechne sie einzeln oder lass dir zeigen, wie man das mit dem Taschenrechner so macht, wie in der Lösung angegeben. - Lehrplan - 17 Aufgaben in 4 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 4
  • Welches Ereignis passt zum vorgegebenen Term? Trage den entsprechenden Großbuchstaben in das erste Feld ein und fülle die restlichen Felder mit passenden Zahlen. Brüche sind in der Form "a/b" einzutragen.
    • Es wird zwölf mal hintereinander gewürfelt. 
    A: es fällt genau fünf mal die Augenzahl "6"
    B: mehr als zehn mal wird eine Augenzahl kleiner oder gleich "4" gewürfelt
    C: beim fünften Wurf fällt zum ersten mal eine Augenzahl größer als "4"
    P
     
    =
    ·
    ·
    +
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Stoff zum Thema
Was ist ein Bernoulli-Experiment und eine Bernoulli-Kette und wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades?
#702

Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten:

Bernoulli-Experiment:
Zufallsversuch, bei dem genau zwei mögliche Ergebnisse interessieren, z.B.

  • "Erfolg -- Nichterfolg"
  • "Treffer -- Niete"
  • "0 -- 1".
  • Ist die Treffer-Wahrscheinlichkeit p, so ist die Nicht-Treffer-Wahrscheinlichkeit q = 1− p (Gegenereignis).

Bernoulli-Kette der Länge n:

  • Ein Bernoulli-Experiment wird n mal wiederholt, wobei die Durchführungen jeweils unabhängig voneinander sind.
  • Ein Pfad mit r Treffern hat die Wahrscheinlichkeit pr · qn-r, wobei p die Trefferwahrscheinlichkeit und q = 1 − p die Nicht-Trefferwahrscheinlichkeit ist.
  • In einer Bernoulli-Kette der Länge n gibt der Binomialkoeffizient "n über r" die Anzahl der Pfade mit genau r Treffern an.

Beispiel

Handelt es sich um eine Bernoullikette? Wenn ja, gib die Trefferwahrscheinlichkeit und Länge der Bernoullikette an.

a) Ein Würfel wird vier Mal geworfen und die Augenzahl betrachtet.
b) Ein Würfel wird vier Mal geworfen und die Anzahl der geraden Zahlen notiert.

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit P(X=r) in einer Bernoulli-Kette der Länge n?
#703

Bernoulli Formel:

Für eine Bernoulli-Kette der Länge n lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(X=r), dass die Zufallsgröße X genau r Treffer (Trefferwahrscheinlichkeit p) hat mit der Bernoulli-Formel berechnen:

Bn,p = P(X=r) = (nr) · pr · (1 − p)n-r
Beispiel
Ein Würfel wird 5 Mal geworfen.
Wahrscheinlichkeit für genau vier Einser:
 
?%
Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Quadratzahlen:
 
?%
Wie berechnet man mit einem GTR die Wahrscheinlichkeit für genau oder höchstens r Treffer bei einer Binomialverteilung?
#785

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit dem GTR:

Gegeben: Bernoullikette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p.

Wahrscheinlichkeit für GENAU r Treffer:

Bn,p = P(X = r) = binompdf (n , p , r)

Wahrscheinlichkeit für HÖCHSTENS r Treffer:

Fn,p = P(X ≤ r) = binomcdf (n , p , r)