3.2 Volumen von Pyramide und Kegel, Matheübungen

Raumgeometrie - Lehrwerk Fokus Mathematik (5.-10. Klasse) - 41 Aufgaben in 9 Levels

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    Die wichtigsten Werkzeuge beim Umgang mit Strecken und Winkeln in der Raumgeometrie:

    Im rechtwinkligen Dreieck mit (Gegen-)Kathete a und (An-)Kathete b und Hypotenuse c gilt:
    • Der Satz von Pythagoras: a² + b² = c²
    • Trigonometrische Gleichungen: sin(α) = a/c, cos(α) = b/c, tan(α) = a/b

    Auch der Strahlensatz kann in der Raumgeometrie oft weiterhelfen:

    In der V-Figur sind folgende Verhältnisse gleich:

    e : b = f : c = d : a (kleines Dreieck : großes Dreieck)

    e : h = f : g (vorderer Abschnitt : hinterer Abschnitt)

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 9
  • Gesucht sind Strecken bzw. Winkel im Sachzusammenhang. Löse die Aufgabe Schritt für Schritt.
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • graphik
    Die Abbildung zeigt einen pyramidenförmigen, unten offenen Lampenschirm. Er besteht aus einem Rahmen aus Drahtstücken, die entlang der Pyramdidenkanten verlaufen und an den Eckpunkten miteinander verlötet sind. Über den Rahmen ist ein Leinwandstoff gespannt, der von innen beleuchtet wird.
    Beim Bau der Lampe muss man wissen, welche Drahtlänge in Dezimetern man insgesamt ungefähr benötigt und in welchem Winkel α die Seitenkanten untereinander verlötet werden müssen. Berechne die jeweiligen Werte (auf ganze dm bzw. Grad gerundet), wenn die Lampe die Höhe h = 24cm und eine quadratische Grundfläche mit Seitenlänge s = 20cm besitzen soll. (Runde jedoch keine Zwischenergebnisse, sondern rechne durchgehend mit Taschenrechnergenauigkeit!)
    Gesamte Drahtlänge: ℓ ≈ dm (!)
    Winkel: α ≈ °
  • keine Berechtigung
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Pyramidenvolumen - Herleitung der Formel
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Wie berechnet man das Volumen einer Pyramide?
#492
Das Volumen einer Pyramide hängt nur von ihrer Grundfläche G und ihrer Höhe h ab, und zwar

V = ⅓ · G · h

Wie berechnet man das Volumen eines Kegels und welcher andere Körper verwendet die gleiche Formel?
#737
Das Volumen eines Kegels hängt nur von seiner Grundfläche G und seiner Höhe h ab, und zwar

V = ⅓ · G · h

Das ist die selbe Formel wie bei der Pyramide. Man kann sich den Kegel dazu als Pyramide vorstellen, deren Grundfläche ein regelmäßiges n-Eck mit unendlich vielen Ecken ist.

Wie lauten die Formeln für Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines Kegels?
#747

Nützliche Formeln für Kegelvolumen und -oberfläche:

V = ⅓ · G · h

M = π · r · s

O = G + M = π · r2 + π · r · s

Wie berechnet man die Volumina von Prismen, Pyramiden, Zylindern und Kegeln?
#770
Volumenformeln im Überblick:
  • Quader und Prisma: V = G · h
  • Pyramide: V = ⅓ G · h
  • Zylinder: V = r² π · h
  • Kegel: V = ⅓ r² π · h
Welche Werkzeuge sind in der Raumgeometrie für den Umgang mit Strecken und Winkeln wichtig?
#772
Die wichtigsten Werkzeuge beim Umgang mit Strecken und Winkeln in der Raumgeometrie:

Im rechtwinkligen Dreieck mit (Gegen-)Kathete a und (An-)Kathete b und Hypotenuse c gilt:
  • Der Satz von Pythagoras: a² + b² = c²
  • Trigonometrische Gleichungen: sin(α) = a/c, cos(α) = b/c, tan(α) = a/b

Auch der Strahlensatz kann in der Raumgeometrie oft weiterhelfen:

In der V-Figur sind folgende Verhältnisse gleich:

e : b = f : c = d : a (kleines Dreieck : großes Dreieck)

e : h = f : g (vorderer Abschnitt : hinterer Abschnitt)